Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области Прусаков Д. В. «Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области» 1998- 99 уч. г. 14 Введение 3 1.Постановка задачи 3 2. Оценочный анализ решения задачи. 4 2.1. Оценка решения сверху. 4 2.2. Оценка решения в виде интеграла 5 2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности 8 3. Формулировка результата в виде теоремы 10 4. Примеры 11 Заключение 12 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13 Введение В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью. 1.Постановка задачи В дипломной работе рассматривается задача: (З) 0 . t x Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области , и исследовать полученную оценку при 2. Оценочный анализ решения задачи. Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравнения в прямоугольнике , непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах» [2]. 2.1. Оценка решения сверху. В области t=t , x= рассмотрим решение задачи : , V(0,x) = ( x ), x , (1) это решение имеет вид [1]: v (t, x) = . (2) Зафиксируем некоторое и перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x= будет выглядеть так: V(t, x) = (2’) Из принципа максимума [2] заключаем, что: U( t, x ) V( t, x ). (3) Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2). 2.2. Оценка решения в виде интеграла Разобьем интервал < x на две части и , тогда интеграл (2’) запишется в виде: V( t, x ) = . (*) Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что : ; (а) ; ; где . После проведенного исследования видно, что Использовав известное разложение , где Z 0, , заменим экспоненты во втором интеграле рядами: (а) ; (б) . В результате получим : Здесь: , , (4.1) , . (4.2) Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда: m=1, U(t, x) . (5) Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к . фиксированно) Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3). пусть (т.е. финитна), в соответствии с принципом максимума: , (3’) при где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями: Аналогично, как и выше здесь: Таким образом, (используем разложение в ряд Тейлора) В итоге, (5.1) Рассмотрим два случая: а) Пусть , тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени , поэтому (5.1) можно переписать как: (5.2) б) Пусть тогда: где В результате получаем: (5.3) 2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности Зададим произвольно некоторую константу >0, потребовав чтобы в (5) . при . Неравенство (5) можно только усилить, если (6) Рассмотрим общий вид : ; (7) , (7.1) b=x ( k=1 ) , b=2 (k=2) оценка (7.1) эквивалентна системе неравенств: , откуда: . (8) Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при то принимаем что для некоторого : . (9) 3. Формулировка результата в виде теоремы Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы: 1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача (З) - гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на ,а функция ограничена на R : . Тогда для любого сколь малого числа можно указать число , такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З): Раскрыв квадратные скобки, получим: . Пусть в имеет место задача (З), - монотонная, неограниченная, возрастающая функция, тогда: если , то 2) если то Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при более слабых ограничениях 4. Примеры Пусть , . Заключение В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1966 (с. 230 -233); С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 . 33-34); Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М. 1989.