Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $ze ÎE\L ║ze ║=1 r(ze ,L)>1-e Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться. Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве. Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением. Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства. Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e Теорема: Чтобы L было плотно в H - ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента. Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество. Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства. Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy Определение: Непрерывный оператор – Ax-Ax0 при x- x0 Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X. Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c Теорема: A – ограниченный -"xÎX ║Ax║≤c║x║ Теорема: Для того чтобы А был непрерывен - чтобы он была ограничен Теорема: {An } равномерно ограничена -{An }- ограничена. Теорема: {An x} – ограниченно - {║An ║}- ограничена. Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An -A║-0, n-¥, обозначают An -A Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An -A)x║Y -0, n-¥ Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость -{An } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1 Теорема: Банаха-Штенгауза An -A n-¥ слабо - 1) {║An ║}- ограничена 2) An -A, x’ÌX, x’=x Теорема: Хана Банаха. A:D(A)-Y, D(A)ÌX -$ A’:X-Y 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║ Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a Определение: Равностепенная непрерывность "t1 ,t2 $d: ║x(t1 )-x(t2 )║<e Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное. Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0} Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X* :=L(X,E) Определение: Сопряженный оператор A* : Y* -X* Теорема: Банаха A:X-Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $A-1 и ограничен. Определение: Оператор А – обратимый Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1 -ограничен. Теорема: A-1 $и ограничен -$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║ Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X-Y – линейный ограниченный функционал -$! yÎH "xÎH f(x)=(x,y) Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность. Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность. Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно -"e>0 $конечная e-сеть Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно - все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y. Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) - A* Îs(X* ,Y* ) Линейные нормированные пространства 1. Пространства векторов сферическая норма кубическая норма ромбическая норма p>1 2. Пространства последовательностей p>1 или пространство ограниченных последовательностей пространство последовательностей, сходящихся к нулю пространство сходящихся последовательностей 3. Пространства функций пространство непрерывных на функций пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций £p [a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово) - пополнение £p [a,b] (Гильбертово) Неравенство Гёльдера p,q>0 Неравенство Минковского