Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МАДИ (ТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Выполнил: Белоногов М.В. Группа 4ВЭДС3 Проверил: Беляков Г.С. Москва 1999-2000 Раздел 1. Выбор оптимального маршрута поездки. Постановка задачи: Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г. Порядок решения задачи: 1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети. А 1 Б 4 В 2 Д 3 Г Найдем кратчайшие расстояния до пункта А. пункт i А Б В Д 1 4 yi 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 28 13 17 8,32 9 16,64 Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю. Затем пересчитываем величины yi используя правило: Если yj + lij < yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений.Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят. yA + l4A =0+9=9 < y4 =¥Þ y4 =9 yA + lBA =0+13=13 < yB =¥Þ yB =13 yA + l1A =0+8,32=8,32 < y1 =¥Þ y1 =8,32 Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят. y4 + lB4 =9+7=16 > yB =13 y4 + lД 4 =9+8=17 < уД =¥Þ yД =17 yВ + lДВ =13+12=25 > yД =17 yВ + lБВ =13+15=28 < уБ =¥Þ yБ =28 yВ + l1В =13+9=22 > у1 =8,32 y1 + lВ1 =8,32+10=18,32 > yВ =13 y1 + lБ1 =8,32+8,32=16,64 < уБ =28 Þ yБ =16,64 yД + l4Д =8,32+17=25,32 > y4 =9 yД + lВД =17+12,32=29,32 > yВ =13 yБ + lВБ =16,64+15,32=31 > yВ =13 yБ + l1Б =16,64+8=24,64 > y1 =8,32 Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети. l4A = у4 - уА 9=9-0 l4Д >у4 – уД 8,32>9-17 lД4 = уД – у4 8=17-9 lДВ >уД – уВ 12>17-13 lBA = yB - yA 13=13-0 lBД > yB – yД 12,32>13-17 lBБ > yB – yБ 15,32>13-16,64 lB4 > yB – y4 7>13-9 lB1 > yB – y1 10>13-8,32 lБВ >уБ - уВ 15>16,64-13 lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32 l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0 l1В >у1 – уВ 9>8,32-13 l1Б >у1 – уБ 8>8,32-16,64 Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие: lij = yi - yj Таковыми являются: l4A = у4 - уА 9=9-0 lД4 = уД – у4 8=17-9 lBA = yB - yA 13=13-0 lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32 l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0 Кратчайшие расстояния до пункта А равны: пункт 4 Д Б 1 В расстояние до А 9 17 16,64 8,32 13 Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов. 2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д. А Б В Г Д А --- 16 13,32 --- 17,64 Б 16,64 --- 15 21 --- В 13 15,32 --- 15 12,32 Г --- 21,64 15,32 --- 16 Д 17 --- 12 16,32 --- 3. Математическая модель задачи коммивояжера: Найти минимальное значение целевой функции z n+1 n+1 min z = SSlij * xij i=1 j=1 при следующих ограничениях: - из каждого города i нужно уехать только один раз n+1 Sxij = 1 i=1, ......, n+1 j=1 - в каждый город j нужно приехать только один раз: n+1 Sxij = 1 j=1, ......, n+1 i=1 - переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1, 1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j 0 - в противном случае - решение есть простой цикл 4. Решение задачи: А Б В Г Д А --- 16 13,32 --- 17,64 Б 16,64 --- 15 21 --- В 13 15,32 --- 15 12,32 Г --- 21,64 15,32 --- 16 Д 17 --- 12 16,32 --- Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент. В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты: А – Б – Г – Д – В – А minz = 16+21+16+12+13 = 78 Раздел 2. Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ). Постановка задачи: В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять: B1 = 50.000 т B2 = 60.000 т B3 = 45.000 т B4 = 70.000 т Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час. Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными. Затраты на приготовление аб, руб мощность АБЗ Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cp i + E*Kp i уд т/час тыс. т/год 1 2 3 4 10 18 484 489 495 481 25 45 423 428 435 420 50 90 405 410 416 401 Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij , руб Пункт размещения Зона-потребитель 1 28,3 60,3 45,3 90,3 2 61,3 30,3 93,3 48,3 3 50,3 95,3 33,3 62,3 4 99,3 54,3 65,3 36,3 Математическая модель транспортной задачи: m n min z = SSCij * xij i=1 j=1 Ограничения: n -Sxij = ai i=1, ......, m j=1 весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю. m -Sxij = bj j=1, ......, n i=1 спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен - xij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю Транспортная таблица: Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =135 Ui Ki 433,3 440,3 < 465,3 449,3 < 450,3 437,3 < 495,3 0 X1 =90 50 40 0 5/9 433,3 < 471,3 440,3 449,3 < 503,3 437,3 < 458,3 0 X2 =90 60 30 0 6/9 433,3 < 466,3 440,3 < 511,3 449,3 437,3 < 478,3 0 X3 =90 45 45 0 ½ 433,3 < 500,3 440,3 < 455,3 449,3 < 466,3 437,3 0 X4 =90 70 20 0 7/9 Vj 433,3 440,3 449,3 437,3 0 Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя: Вф =Sаi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сp i + E*Kp i + Cij С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij . Проверяем план на вырожденность: m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным. Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф , остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(Ui + Vj = Сp i + E*Kp i + Cij ). Проверяем план на оптимальность: · число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1 · для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб. · для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство : Ui + Vj <Сp i + E*Kp i + Cij Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи. Определяем значения коэффициентов интенсивности. Ki = S xij / xi S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям xi – мощность i-го АБЗ Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить. Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка. Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сp i + E*Kp i + Cij для клеток третьей строки. Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =90 Ui Ki 433,3 424,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -16< 0 X1 =90 50 40 -16 1 449,3 < 471,3 440,3 466,3 < 503,3 437,3 < 458,3 0 X2 =90 60 30 0 6/9 449,3 < 485,3 440,3 < 530,3 466,3 < 468,3 437,3 < 497,3 0 X3 =45 45 0 0 449,3 < 500,3 440,3 < 455,3 466,3 437,3 0 X4 =90 5 70 15 0 15/18 Vj 449,3 440,3 466,3 437,3 0 Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте. Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =45 Ui Ki 433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -18< 0 X1 =90 50 40 -16 452,3 < 489,3 458,3 469,3< 521,3 440,3 < 476,3 1 > 0 X2 =45 45 _ + 3 451,3 < 485,3 457,3 < 530,3 468,3 439,3 < 497,3 0 X3 =45 0 + _ 45 2 449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -2 < 0 X4 =90 15 + 5 _ 70 0 Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -2 Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj <Сp i + E*Kp i + Cij поэтому план необходимо улучшить. Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений. Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =45 Ui Ki 433,3 440,3 < 465,3 450,3 422,3 < 495,3 -18 < 0 X1 =90 50 40 -18 1 451,3 < 489,3 458,3 468,3 < 521,3 440,3 < 476,3 0 X2 =45 40 5 0 8/9 451,3 < 485,3 458,3 < 530,3 468,3 440,3 < 497,3 0 X3 =45 5 40 0 1/9 448,3 < 500,3 455,3 465,3 < 466,3 437,3 -3 < 0 X4 =90 20 70 -3 1 Vj 451,3 458,3 468,3 440,3 0 План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте. Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год тыс.т/год B1 =50 B2 =60 B3 =45 B4 =70 Bф =18 Ui Ki 433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -78 < 0 X1 =90 50 40 -16 1 452,3 < 489,3 458,3 469,3 < 521,3 440,3 < 476,3 -59 < 0 X2 =45 45 3 1 511,3 < 545,3 517,3 < 590,3 528,3 499,3 < 557,3 0 X3 =18 0 18 62 0 449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -62 < 0 X4 =90 15 5 70 0 1 Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -62 План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим. Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу. Вариант размещения Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год Значение целевой функции, zi , тыс.руб. М1 М2 М3 М4 1 50 60 45 70 98912,5 2 90 60 0 75 99037,5 3 90 40 5 90 100067,5 4 -наилучший 90 45 0 90 100072,5