О некоторых применениях алгебры матриц МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова Математический факультет Кафедра геометрии и высшей алгебры Лакунова Залина «О некоторых применениях алгебры матриц» Научный руководитель: д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев / Рецензент: к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/ Допущена к защите 2002г. Заведующий кафедрой к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/ Нальчик2002 Оглавление стр. Введение 3 §1. О правиле Крамера 4 §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9 §3. Матричный вывод формулы Кардано 17 Литература 21 Отзыв О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц». Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З. В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней. В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем. В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел. В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка). Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите. Предварительная оценка – «хорошо» д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/ §1. О правиле Крамера В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем. Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными (1) Определитель которой отличен от нуля: (2) Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения (3) где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1), (4) - столбец (Матрица-столбец) неизвестных - столбец свободных членов системы (1) Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение) , где обратная матрица имеет вид: ( -алгебраическое дополнение элемента в определителе ) Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений . Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании. Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц. Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)): Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера: () (Правило Крамера) Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных: (5) Теперь из равенств , где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве: , откуда ввиду имеем . (здесь получается из , как и из ). Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при имеем, используя два линейных свойства определителя: Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим: ( ), откуда и получаются формулы Крамера. Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов. §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел . Матрица вида: - называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом. Пусть дан циклический определитель (Циркулянт) . Прибавив первые две строки к третьей, получим: . Вынесем общий множитель из последней строки: . Так как , то . С другой стороны, по определению детерминанта имеем: Следовательно, выполняется тождество (1) Имеет место следующее предложение. Предложение 1 . Уравнение (2) не имеет решений в натуральных числах Доказательство : Если - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то (3) Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно, , . (4) Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического). Пусть и - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу. В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и , и мы имели бы: - противоречие. Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем , откуда . Таким образом, доказано что уравнение не имеет решений в натуральных числах . Предложение 2 . Уравнение разрешимо в натуральных числах . Доказательство : удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство - противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что . Поэтому получаем . Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах . Предложение 3 . Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов. Доказательство : Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка) где - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство . (5) Предложение 4 . Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов. Доказательство : Пусть число делится на простое число вида : . Требуется доказать, что частное имеет вид . Предположим, что задача уже решена, т.е. , (6) и с помощью анализа попробуем найти искомые числа и . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств. и перемножив правые части этих равенств, получим: отсюда имеем: (7) (8) . (9) Так как - простое число и делит , то равенство (9) показывает, что или делится на . Пусть . Тогда из тождества , верного в силу (5) следует, что на делится и число , а поскольку - простое, , так что в силу (7) - целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем: и Предложение 4 доказано. Если же , т.е. в силу (8) - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать: ; отсюда следует, что , т.е. - целое. В этом случае . §3. Матричный вывод формулы Кардано В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения. Пусть дано любое кубическое уравнение . (1) Если - его корень, то , поэтому , т.е. есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению. . (2) Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида , (3) которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку , (4) получим: , т.е. , (5) где и определяются по заданным коэффициентам уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида , (6) называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка имеет место тождество , (7) где - любые числа, - один из корней третьей степени из единицы, так что (проверка тождества опирается на равенство ). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением , (8) т.е. положим где и пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему которая показывает (в силу теоремы Виета), что и являются корнями квадратного уравнения т.е. и поэтому (9) Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором и определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению и теперь получаем: (10) где и определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства ; если одна пара значений и выбрана указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного определяются из равенства т.е. (11) причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих кубических радикалов. Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано. ЛИТЕРАТУРА 1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г. 2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г. 3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г. 4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г. 5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г. 6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.