Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
№1
1 Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ÎD – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то DSi – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi , Di) ÎDi, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения Dl- 0 , то число n областей Di-¥. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при l- 0. Обозн: 2 Понятие числового ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3… Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда. Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un Если сущ. конечный предел: № 2
1 Условие существования двойного интеграла Необходимое, но недостаточное: Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D. 1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D. 2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она интегрируема на D. 2 Геометрический и арифметический ряды Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим: а+ а×q +…+a×qn
-1
a¹ 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q Возможны случаи: 1 |q|<1 т. е. ряд расходится. 3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n×a 4 при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n
-1
aSn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится. Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии: №3
1 Основные св-ва 2ного интеграла 1. Двойной интеграл по области D = площади этой области. 2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G. 3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: 4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов: 5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в Д. 6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то: В частности: g(x,y) >=0 то и 7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f. 8. Теорема о среднем значении. Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (x, h) Î Д, что: 2 С-ва сходящихся рядов Пусть даны два ряда: u1+u2+…un = Произведением ряда (1) на число lÎR наз ряд: lu1+lu2+…lun = Суммой рядов (1) и (2) наз ряд: (u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = Т1 Об общем множителе Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа l ряд Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: Для ряда (1) ряд Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда. №4
1 Сведение 2ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке. D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x) Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу. Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = 2 Необходимый признак сходимости рядов
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: Док-во: Sn=u1+u2+…+un Sn-1\u1+u2+…+un-1 un=Sn-Sn-1, поэтому: Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда. №5
1 Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай криволинейных координат Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x = x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0: 2 Интегральный признак
сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1
Пущай дан рядт Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на [1,+¥] такая, что f(n) = Un, "nÎN, то для сходимости ряда (1) необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл: Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: Возможны три случая: 1 a>1, Интеграл а потому и ряд сходится. 2 0<a<1, Интеграл и ряд расходится 3 a=1, Интеграл и ряд расходится № 6
1 Двойной интеграл в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных. Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j) где r = |ОA
| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p . Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y = r×sinj . Якобиан преобразования будет равен: 2 Признаки сравнения Т(Признаки сравнения)
Пущай un<=vn (1)тогда 1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un 2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!! Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно. Т3 Засекреченная Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел: №7
1 Вычисление площади плоской области с помощью 2ного интеграла Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то Если Д огр линиями в полярных координатах, то 2 Признаки Даламбера и Коши Т(Признак Далембера) Пущай для ряда un с положит членами существует предел: 1 Если k<1, то ряд сходится 2 Если k>1 ряд расходится Т(Признак Коши) Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел: 1 Если k<1, то ряд сходится 2 Если k>1 ряд расходится А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут. Вот. №8
1 Вычисление объема с помощью 2ного интеграла
Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z = f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле: если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией: z = |f(x,y)|>=0. тогда если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1, f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда: 2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные знаки (один ♀, другой ♂), если считать каждый член сего ряда положительным то его можно записать в виде: Т (Признак Лейбница) Если для знакочередующегося ряды выполняются условия: 1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1… 2) то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0<=S<=un и |rn
|<=un+1 Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница. Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится. №9
1 Вычисление площади поверхности
с помощью двойного интеграла.
Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция f×(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда площадь поверхности Р вычисляется: для ф-ций вида x = m (y,z) или y = j(x,z) там будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy. 2 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость рядов.
Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд: u1+u2…+un= |u1|+|u2|…+|un|= Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно. Т. Признак абсолютной сходимости: Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при этом: Доквы: т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| "nÎN, то переходя к пределу получим: Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней. Т(Римана) Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых №10
1 Вычисление массы,
координат центра масс,
моментов инерции плоской
материальной пластины с
помощью 2ного интеграла.
Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле: Координаты центра масс выч по ф-ле: если пластина однородная, т. е. r(х, у) – const, то ф-лы упрощаются: Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат: J0=Jx+Jy если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1. 2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения. Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную сумму: Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при "xÎEf(x) = S(x)= называется суммой ряда (2). Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через rn
(ч), то S(x) = Sn(x)+rn
(x) №11
1 Тройные интегралы Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами DV1… DVn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(xi,hi,ci) составим сумму: 2 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную последовательность {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для " т х ÎE и "n >N выполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn-f. Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда) Если числовой ряд: где a >=0 сходится и для "xÎE и "n = 1,2… если выполняется нер-во |un(x)|<=an(8), ряд Док-вы: Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма. Зафиксируем произвольное e >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, "n >N и вып. нерво Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = Это означает, что Sn(x) -S(x) что означает равномерную сходимость ряда.. №12
1 Замена переменных в тройном интеграле.
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан то справедлива формула: При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p, -¥<=z<=+¥) Якобианпреобразования: И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так: При переходе к сферическим координатам: r? jq, связанными с z,y,z формулами x=rsinq×cosj, y=r sinqsinj, z=rcosq. (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p, 0<=q <=2p) Якобиан преобразования: Т. е. |J|=r2
×sinq. Итак, в сферических координатах сие будет: 2 Свойства равномерно сходящихся рядов
Т1 Если ф-ция un(x), где х Î Е непрерывна в т. х0 ÎE и ряд Т2 (Об поюленном интегрировании ряда) Пусть сущ. ф-ция un(x) ÎR и непрерывная на отр. [a,b] и ряд Т3 (о почленном дифференцировании ряда) Пусть сущ. ф-ция un(x) ÎR и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных S’(x)= В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать: ( So ряд (7) можно почленно дифференцировать №13
1 Приложения
тройных интегралов
Объем тела Масса тела: Моменты инерции тела относительно осей координат: Момент инерции относительно начала координат: Координаты центра масс: Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) = const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах. 2 Степенные ряды. Теорема Абеля Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0
+a1
x+a2
x2
+… + an
xn
= a0
+a1
(x-x0)+a2
(x-x0)2
… + an
(x-x0)n
= Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0. Т Абеля 1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|. 2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0| №14
1 Определение криволинейных интегралов 1 и 2 рода
Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода) Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть Dlk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(xk,hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы: d1 = d2 = d3 = гдеDхk = xk
-xk-1
, Dyk = yk
-yk-1
Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы d1 при условии, что max(Dlk) - 0 Если предел интегральной суммы d2 или d3 при l- 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается: сумму: Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ: В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом: Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода: сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода. 2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд: Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R = 0. Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или бесконечный): Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин 1)Рассмотрим случай, когда 2)Пусть 3) Пусть Т3 Если существует предел конечный или бесконечный №15 1 условия
существования и вычисления
криволинейных интегралов.
Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её параметрических уравнений:
имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра tÎ [a,b] для которых (j’(t))2
+(y’(t))2
= 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!). Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным: Отседова жа вытекаает штаа: В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х) непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим: ну и сумма там тожжа упростица. ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у) Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j), y= r(j)×sin(j). и у второго рода так же. Прямая L наз кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю). 2 Свойства степенных рядов Т1 Если степенной ряд Для ряда Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией. Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2 соответственно рядов× Пусть ф-ция f(x) является суммой степенного ряда Т4 Дифференцирование степенного ряда Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда (9): f’(x)= Т5 О интегрировании степенного ряда Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд. Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется, однако на концах интервала может изменяться. №16
1 Свойства криволинейных интегралов Св-ва криволинейных интегралов 1 рода: 1.Константа выносится за знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в виде суммы интегралов: 2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек и если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей ф-ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем: 3. 4.Ф-ла среднего значения если ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М, такая, что: Криволинейный интеграл 2 рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и исчо при изменении направления прохождения кривой он меняет знак. .И вапще все сказанное выше справедливо и для пространственной кривой (этта та которая с буквой зю) 2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Пусть Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= и справедлива формула: Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд: При х0=0 ряд Тейлора принимает вид: Ряд Тейлора может: 1 Расходится всюду, кроме х=х0 2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой. 3 Сходится к исходной ф-ции f(x) Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора. Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора: Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена. Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е "xÎU(x0) |f(
n
)
(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности. №17
1 Формула Грина Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами. Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными: И вот вся эта фигулина и есть формула Грина. Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=dx1(y)<=x2(y) или y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x). Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл Итак двойной интеграл: Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей. 2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена) 1Разложение ф-ции ех
радиус сходимости: R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой. 2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сходится на всей числовой оси 3. f(x) = (1+x)a
Наз. биномиальный ряд с показателем a Различают 2 случая: 1- aÎN, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a +2) поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х. Получается формула Бинома Невтона: 2- aÎR>N (a¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1 4 Разложение ф-ции ln(1+x) сходится при –1<x<=1 5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена №18
1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода
. 1.Интеграл 2.Механический смысл интеграла 1 рода. Если f(x,y) = r(x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса: для пространственной там буква зю добавляется. 3.Координаты центра масс материальной дуги: 4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу: 5. Геометрический смысл интеграла 1 рода Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда: 2 Геометрические и арифметические ряды. №19
1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода. Вычисление площади плоской области Д с границей L 2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы: при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю. 2 Свойства сходящихся рядов №20
1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования. Плоская область W наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная. Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области W тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3. 1. Для " замкнутой кусочногладкой кривой L в W значение криволинейного интеграла: 2. Для все т. А и т. В области W значение интеграла не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в W. 3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в W существует ф-ция E=c(х,у) опред в W такая, что dE = Pdx+Pdy 4. В области W Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования. 2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле. №21
1 Интегрирование в полных дифференциалах Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение: или А(x0,y0) Îl , В = (х,у) Îl поэтому F(x,y)= где (х0,у0) – фиксированная точка Îl, (x,y) – произвольная точка Îl , с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду. №22
1 Сведение 2-ного интеграла к повторному Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке. D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x) Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу. Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = 2 Признаки Даламбера и Коши №23
1 2 ной интеграл
в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных. Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j) где r = |ОA
| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p . Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y = r×sinj . Якобиан преобразования будет равен: И формула при переходе примет вид: 2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница №24
1 Замена переменных в тройном интеграле
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан то справедлива формула: При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p, -¥<=z<=+¥) Якобиан преобразования: При переходе к сферическим координатам: r? jq, связанными с z,y,z формулами x=rsinq×cosj, y=r sinqsinj, z=rcosq. (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p, 0<=q <=2p) Якобиан преобразования: Т. е. |J|=r2
×sinq. Итак, в сферических координатах сие будет: 2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда №25
1 Условия существования и вычисления криволинейных интегралов Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её параметрических уравнений: имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра tÎ [a,b] для которых (j’(t))2
+(y’(t))2
= 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!). Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным: Отседова жа вытекаает штаа: В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х) непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим: ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у) Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j), y= r(j)×sin(j). и у второго рода так же. Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю). 2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). |