Кривые и поверхности второго порядка ЭЛЛИПС. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1 и F2. Пусть М —произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1 М и F2 М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем: F1 М + F2 М = 2а. Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1 ,F2. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 иr 2 расстояния от точки М до фокусов ( r1 = F1 М, r 2 = F2 М ). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда r1 + r 2 = 2а. Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 иr 2 их выраже­ниями через координаты х, у. Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим: Заменяя r1 иr 2 , получаем: Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, полу­чим: или Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем: а2 х2 — 2а2 сх + а2 с2 + а2 у2 = а4 — 2а2 сх + с2 х2 , откуда (а2 —с2 )х2 + а2 у2 = а2 (а2 —с2 ). Здесь мы введем в рассмотрение новую величину ; а > с, следовательно, а2 —с2 > 0 и величина b —вещественна. b2 = a 2 — c2 , тогда b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 , или . Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка. Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем: . Так как с <a , то ε < 1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что c2 = a 2 — b2 ; поэтому ; отсюда и Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2 , тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ε=0. Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠ b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а >b . Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид и . Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε < 1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид: х2 + у2 = R2 . ГИПЕРБОЛА. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 иF2 , а расстояние между ними—через 2с. Пусть М —произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2 . Отрезки F1 М и F2 М (так же, как и дли­ны этих отрезков) называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r1 и r 2 ( r1 = F1 М, r 2 = F2 М ). По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть по­стоянная величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а. Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2 . Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1 М и F2 М через r1 и r 2 . Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда r1 — r 2 = ±2а. Так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим: , . Заменяя r1 и r 2 , получаем: . Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе. Возведём обе части равенства в квадрат; получим: , или . Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем: c2 x2 – 2a2 cx + a4 = a2 x2 – 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 , откуда (c2 – a2 )x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2 ) . Здесь мы введем в рассмотрение новую величину ; с >a , следовательно, с2 —а2 >0 и величинаb —вещественна. b2 = с2 —а2 , тогда b2 x2 — a2 y2 = a2 b2 , или . Уравнение , определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε, получим: . Так как для гиперболы с >a , то ε >1 ; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c2 = a 2 + b2 , находим: ; отсюда и . Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньшеε2 —1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a=b иε=√2 . Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением . Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер­болы. Уравнения директрис в вы­бранной системе координат имеют вид и . Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой. Так как для гиперболы ε > 1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной. ПАРАБОЛА. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус). Фокус параболы принято обозначать буквой F , расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы. Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d — расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда r=d. Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменныеr и d их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у. Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв этово внимание, находим: . Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем: число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы,гденаходится фокус, т. е. должно быть , откуда . Заменяя r и d , найдем Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе. Возведем обе части равенства в квадрат; получим: или у2 =2рх. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2 =2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка. Министерство образования РФ Пензенская Государственная Архитектурно-Строительная Академия Тема: «Кривые и поверхности второго порядка» Выполнил: Богданович Ольга Специальность: ОБД Обозначение: 240400 Группа: ОБД-11 Проверил: Фадеева Г.Д. Оценка: Пенза – 2000. Кривые второго порядка Поверхности второго порядка Эллипсоид Однополостный гиперболоид Двухполостный гиперболоид Конус Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр