Контрольная работа №385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. №301. Найти неопределенный интеграл. Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых №522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Понизим порядок дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию , тогда и получаем уравнение Это линейное уравнение первого порядка. Введем новые функции u=u(x) и v=v(x). Пусть , тогда , т.е. (1) Предположим, что функция такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е., что она является решением дифференциального уравнения. это уравнение с разделяющимися переменными Здесь Подставляем значение v в уравнение (1), получаем Следовательно, а т.к. , то решим отдельно интеграл , тогда общее решение данного дифференциального уравнения. Найдем частное решение при заданных условиях Т.к. , то Т.к. , то - частное решение при заданных условиях. №543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Составим характеристическое уравнение Т.к. , то общее решение запишется в виде Найдем частное решение т.к. в правой части стоит , то Найдем и Подставим значение и в данное уравнение, получим: Общее решение данного дифференциального уравнения. Найдем частное решение при заданных начальных условиях , т.к. , то , т.к. , то решаем систему и - частное решение при заданных начальных условиях.