Конспект по дискретной математики Дискретная математика Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации… Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела: 1. Язык дискретной математики; 2. Логические функции и автоматы; 3. Теория алгоритмов; 4. Графы и дискретные экстремальные задачи. Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования. Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений. Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи. Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ. Множества и операции над ними Одно из основных понятий математики – множество. Определение: Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов. Множество обозначают: M,N ….. m1 , m2 , mn – элементы множества. Символика A Î M – принадлежность элемента к множеству; А Ï М – непринадлежность элемента к множеству. Примеры числовых множеств: 1,2,3,… множество натуральных чисел N; …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z. множество рациональных чисел а. I – множество иррациональных чисел. R – множество действительных чисел. K – множество комплексных чисел. Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В. А Í В – А подмножество В (нестрогое включение) Множества А и В равны, если их элементы совпадают. A = B Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение). Множества бывают конечные и бесконечные. |М| - мощность множества (число его элементов). Конечное множество имеет конечное количество элементов. Пустое множество не содержит элементов: M = Æ . Пример: пустое множество: 1) множество действительных корней уравнения x2 +1=0 пустое: M = Æ . 2) множество D, сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ . Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным. Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики … Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n . Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным. Множество можно задать: 1) Списком элементов {a,b,c,d,e}; 2) Интервалом 1<x<5; 3) Порождающей процедурой: xk =pksinx=0; Операции над множествами 1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным. А È В Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества. Объединение двух множеств А В Объединение системы множеств можно записать - объединение системы n множеств. Пример: объединение множеств, когда они заданы списком. A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h} AUB AUB Объединение трех множеств: 2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В. AÇB Пересечение прямой и плоскости 1) если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка; 2) если прямые II пл., то M¹Æ; 3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой. Пересечение системы множеств: 4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В. С = А \ В A \ B A \ B А А \ В B A В А В A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}. В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна; 2) не коммутативна, т.е. A\B¹B\A. 4) дополнение E – универсальное множество. -- дополнение Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми. Основные законы операций над множествами. Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются. Основные свойства 1) AUB = BUA ; A Ç B = B Ç A –переместительный закон объединения и пересечения. 2) ( А UB)UC = AU(BUC); (A Ç B) Ç C=A Ç (B Ç C) – сочетательныйзакон. 3) А U Æ =A, A ÇÆ = Æ , A \ Æ =A, A \ A= Æ 1,2,3 – есть аналог в алгебре. 3.а) Æ \ A = Æ - нет аналога. 4) Æ; E \ A = ; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A; 5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах. 5) A Ç ( BUC )=( A Ç B )( A Ç C ) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U. Прямые произведения и функции Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB. С=AхВ, если А=В то С=А2 . Прямыми «х» n множеств A1 x,…,xAn называется множество векторов (a1 ,…an ) таких, что a1 ÎA1 ,…, An ÎAn . Через теорию множеств введем понятие функции. Подмножество FÎMx xMy называется функцией, если для каждого элемента хÎMx найдется yÎМу не более одного. (x;y)ÎF, y=F(x). Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна: Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎMX соответствует 1 элемент yÎMY и обратное справедливо. Пример: 1) (х,у) в круге 2) x = sinx R- R Пусть даны две функции f: A-B и g: B-C, то функция y:A-C называется композицией функций f и g. Y=fogo – композиция. Способы задания функций: 1) таблицы, определены для конечных множеств; 2) формула; 3) графики; Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры. Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n! Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств. Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие. Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2| A | =2n . Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел. Множество N2 – счетно. Доказательство Разобьем N2 на классы К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1) 1-ый элемент 1-го множества 1-ый элемент 2-го множества Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)} К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1} Каждый класс будет содержать i пар. Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а. Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2 . Аналогично доказывается счетность множеств N3 ,…,Nk . Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным. Доказательство Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями. } 1 1-я 0, a11 , a12 …. 2-я 0, а21 , a22 …. …………………. Возьмем произвольное число 0,b1 ,b2 ,b3 1 b1 ¹a11 , b2 ¹a22 , … Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1]. Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум. Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора. Отношение Пусть дано RÍMn – n местное отношение на множество М. Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а Rb. Проведем отношение на множество N: А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_ Б) (9,7) не выполняется. Пример отношения на множество R А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21) Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется. Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств. Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств. Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна С= 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 3 0 0 1 1 4 0 0 0 1 101 010 001 С= Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства. Отношением назовется обратным к отношением R, если aj Rai тогда и только тогда, когда aj Rai обозначают R-1 . Свойства отношений Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули Пр. отношнний £рефлексивное < антирефлексивное 2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij =Cji . Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное. Пр. Если а £b и b£a ==> a=b Если дано "a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пр. отношение равенства E 5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Пр. а) отношение £u³ для чисел отношение нестрогого б) отношение < u > для чисел отношение строгого Лекция: Элементы общей алгебры Р. Операции на множествах Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j1 ,…, jm }, т.е. система А = {М1 ;j1 ,…, jm } называется алгеброй. W - сигнатура. Если M1 ÌM и если значения j( M1 ), т.е. замкнуто ==> A1= {М1 ;j1 ,…, jm } подалгебра A. Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и поэтому тип этой алгебры (2;2) B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1) Р. Свойства бинарных алгебраических операций запись ajb. 1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно 2. ajb = bja – коммутативная операция Пр. +,x – коммутат. –; : – некоммут. умножение мат A×B¹B×A – некоммутативно. 3. aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева (ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа. Пр. (ab)e =ae be – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа но не abc ¹ ab ac Р. Гомоморфизм и изоморфизм Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; jI ) и B=(M; jI ) – одинакового типа. Пусть отображение Г:K-M при условии Г(jI )= jI (Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции jI b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение jI в В. Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В. Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1 . Мощности изоморфных алгебр равны. Пр. Алгебры (QN ; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.