Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
Тригонометрические функции Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю). В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604
. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину. Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным. Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией
(в переводе – наука об измерении углов, от греч. gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется. Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии. Тригонометрические функции острого угла Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться Рис.1. Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так: sin
a= Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами. Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом aи измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin
a
.
Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin
углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС
=a
=1, тогда гипотенуза этого треугольника с
=2, а второй катет b
=Ö3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a
=1, тогда для этого треугольника c
=Ö2 и b
=1. Полученные результаты запишем в таблицу. Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°. 90°N 0,79 а
А
b
С
0,620°M
Рис.3. Радиусы АМ
и АN
разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ
и гипотенузой АВ
=1. Если угол ВАС
=a, то по определению тригонометрических функций мы имеем: sin
a=а
Для угла 52° на шкале радиуса АN
находим, что а
=0,79, а на шкале радиуса АМ
находим, что b
=0,62., то есть sin
52°=0,79. Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0°и 90°прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ
будет стремиться по положению к радиусу АМ
, то угол a®0, а катеты а
®0 и b
®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что sin
0°=а
=0; cos
0°=b
=1. Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что sin
90°=1; cos
90°=0, tg
90° не существует (tg
90°®¥) и ctg
90°=0. Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом. Пользуясь значениями тригонометрической функции y
=sinx
из таблицы, построим график. 1
0 30° 60° 90°x
Рис.4. Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора a2
+b2
=c2
По определению тогда (1) Легко также найти следующие зависимости (2) (4) (5) (8) Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические Тригонометрические функции произвольного угла Синусом угла a,образованного осью 0
x
и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y
к его длине: Рис. 6. 360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; … и sin
(a+360°· n)=sin
a Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки: Во II четверти ax
<0; ay
>0; В III четверти ax
<0; ay
<0; В IV четверти ax
>0; ay
<0/ График функции y=sinx До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины. Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д. sinx
, где x
– абстрактное число, равен sinx
, где x
измерен в радианах. Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство: f(x+na)=f(x), n=0;
±
1;
±
2 ...
Число а
называется периодом функции. Период функции sinx
равен 2p. Для нее имеет место формула: sin
(
x
+2
p
n
)=
sinx
, где
n=0;
±
1;
±
2 ...
График функции y=sinx
называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x
с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx
, соответствующих выбранным значениям x
, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график. Рис.8. Некоторые свойства функции y=sinx 1. Непрерывность.
Функция y=sinx
существует при всех действительных значения x,
причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx
непрерывна. 2. Четность, нечетность.
Функция y=sinx
нечетная и ее график симметричный относительно начала координат. 3. Наибольшие и наименьшие значения.
Все возможные значения функции sinx
ограничены неравенствами
причем sinx=+1
, если и sinx=-1
, если 4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
sinx=0
, если x=
p
n
(n=0;
±1;
±2;…
). 5. Интервалы возрастания и убывания.
Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах (n=0;
±1;
±2;…
). И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах (n=0;
±1;
±2;…
). |