Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения Интеграл по комплексной переменной. Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг. Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть <= t<=причем и могут быть бесконечными числами . Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]2 + [‘(t)]2  0. Очевидно, что задание координат  =tи (t), равносильно заданию комплексной функции  (t)= (t) i(t). Пусть в каждой точке  (t) кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления 0 , 1 , 2 , …, n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t0, t1, …, t i+1 > t i.  i = i –  i-1. Составим интегрируемую функцию S = f (*) i . (1) где *– производная точки этой дуги. Если при стремлении max | i | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек  i , то этот предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С. (2) f (i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3) где  i = (t) i(t) ((t) и(t) - действительные числа) Подставив (3) в (1) получим : (4) Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при  и  0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем : (5) Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ). Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства : О ограниченности интеграла. П ри этом z =  ( ). 7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp :  = Z0 + ei, 0    2, d = iei d . К усочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом. ТЕОРЕМА КОШИ. В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения : Д ля действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина: ( 8 ) ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю. Доказательство : из формулы (5) следует: Т .к. f( ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов: А налогично : По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда : ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю. TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) : П усть f () является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f () непрерывна в замкнутой области G, тогда : , где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении. Неопределенный интеграл. С ледствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z). Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство : ( 9) Это аналог формулы Ньютона-Лейбница. Интеграл Коши. Вывод формулы Коши. Р анее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции. П усть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию  (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур  с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и . Согласно теореме Коши имеем : По свойствам интегралов : (2 ) Т ак как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве  окружность  с радиусом  . Тогда: (3) Уравнение окружности  :  = Z0 + ei (4) Подставив (4) в (3) получим : ( 5 ) ( 6 ) (7) У стремим  0, т.е.  0. Тогда т.к. функция f() аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех  из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z0) | < . (8) Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем : П одставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем : (9) Э то интеграл Коши. Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре  , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z0 внутри. Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы  в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G. Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю : П ри Z0  Г указанный интеграл не существует. Интегралы, зависящие от параметра. Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования  и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0. Пусть задана функция двух комплексных переменных  (Z,  ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i  С. (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция  (Z,  ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция  (Z,  ) и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и  при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях : И нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула : (2) Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру. ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула : (3) С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу. ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G. Разложение функции комплексного переменного в ряды. Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора : Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то: (2) – разложение в ряд Тейлора. Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается. (3) (4) (5) Причем | Z | < R, R  . Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix; (6) Аналогично взяв Z = - ix получим : (7) Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера : (8) В общем случае : (9) Известно, что : (10) Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами: Ряд ЛОРАНА. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1. Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0. Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R. Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши : (13) (11) Поскольку , то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. : (12) Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов : Обозначая , получим : (14) Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что (15) ТЕОРЕМА 2. Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом : (16) где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим : (18) ТЕОРЕМА 3. Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 | Z , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд : (19) f1 и f2 можно представить в виде двух рядов : (20) (21) Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R. f1(Z) – правильная часть. f2(Z) – главная часть ряда Лорана. Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части. Классификация изолированных особых точек. Вычеты. Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0  G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|0. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на : Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число. Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом. Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой. Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка. Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n  m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m. При m>1 такой полюс будет называться простым. , если m  , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность. Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0| , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана : Если полюс имеет кратность m  1, то для определения вычетов используется формула : (3) при m=1 : Основная теорема о вычетах. Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak.  –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2i : (5) Пример : Найти вычет Особые точки : Z1=1, Z2= - 3. Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка. Используем формулу (3) : Интегральные преобразования. Операционное исчисление и некоторые его приложения. Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода). Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S00 такие, что выполняется условие : |f(t)|S0t Рассмотрим функцию f(t)e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b). (1) Применим к этому соотношению формулу Эйлера : Проинтегрировав это равенство получим : (2) Оценим левую часть равенства (2) : А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t В случае если a>S0 имеем : Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2). Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р : (3) Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом. f(t)  F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу. - это оператор Лапласа. Смысл введения интегральных преобразований. Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений. Теорема единственности: если две функции  tиt имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций 0(t), sin (t), cos (t). Определение: называется единичной функцией. Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение : Изображение единичной функции Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) : интегрируя по частям получим : т.е. Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда : Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. где а – константа. Таким образом : и Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные. Если , то , где Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e-t f(t) (4) Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4) Что и требовалось доказать. Таблица основных изображений: F(p) f(t) F(p) f(p) 1 Изображение производных. Теорема. Если , то справедливо выражение : (1) Доказательство : (2) (3) Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем : Что и требовалось доказать. Пример: Решить дифференциальное уравнение : Если x(0)=0 и x’(0)=0 Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений. Изображающее уравнение : Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение . Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений. Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда . Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до  в области изображений. Понятие о свертке функций. Теорема о свертке. Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция : (1) Свертка обозначается следующим образом : (1’) Равенства (1) и (1’) идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство: Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов . Доказательство : Пусть изображение свертки (1) Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и  . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и  входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно. Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p). Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса. Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда . В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда (2) Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Обратное преобразование Лапласа. - Это прямое преобразование Лапласа. Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение : , где s – некоторая константа. Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению. Теоремы разложения. Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : . Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни 1, 2, …,  n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле : (3) Например : Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид : (1) На f(t) наложены условия : f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (- ;  ) f(t) 0 , t  (-  ;0) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|S0t Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл : (2) Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е. (4) (5) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье. Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям : Должна быть определена на промежутке (- ;  ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|S0t Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций : т.к. Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t)  0, t<0 (6) Обозначим Очевидно, что (6’) Функция (6) называется спектральной плотностью В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : Вычисление интеграла (5) Использование преобразования Лапласа или Фурье. Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции. Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной (7) |F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности,  (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u) (8) (9) Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол  (u). Пример. Найти спектральную плотность импульса : откуда , далее Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо : Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций: Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu. Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu) абсолютно интегрируемой функции.