Интеграл Пуассона . Пусть ¦(x ) , g (x ),x ÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку f * g(x) = dt Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 ) где {cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn = -i n t dt , n = 0, ±1,±2,¼ Пусть ¦ÎL1 (-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию ¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x Î[-p,p] , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х)равны cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки : ¦r ( x ) = , ( 3 ) где , t Î[-p,p]. ( 4 ) Функция двух переменных Рr (t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона . Следовательно, Pr ( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 ) Если ¦Î L1 ( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = `cn ( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим : fr ( x ) = = , ( 6 ) где F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 ) - аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] . При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = . ( 8 ) Утверждение1. Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (eix ) , xÎ[-p, p] . Тогда u (z) = ( z = reix , | z |<1 ) ( 10 ). Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция: = , | z |<1+ e . Но тогда и равенство (10) сразу следует из (2) и (3). Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) ; б) ; в) для любого d>0 Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1. Теорема 1. Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство ; если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то . Доказательство. В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона ( 12 ) Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим . Следовательно, . Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку . Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства . Теорема 1 доказана. Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы. Определение1. Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х. Определение 2. Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0 . Теорема 2 (Фату). Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда для п.в. . Доказательство. Покажем, что для и , ( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*] . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку (К - абсолютная константа). Пусть - такое число, что . Тогда для . Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что , ( 14 ) для п.в. . Согласно (13) при xÎ (-2p,2p) Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14) Из последней оценки получим при n®¥. Теорема 2 доказана. Замечание. Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути. [*] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е. f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] иx-y=2 p ) и f (x) = 0 , если |x |>2p.