Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
П
(1)
при
обычных предположениях
мы желаем перейти
к полярным
координатам
r и
f,
полагая О В rj
= rj+1
- rj,
i
= i+1
- i
Т
малости
относительно
их площади
можно рассматривать
как прямоугольники
с измерениями
rji
и rj;
поэтому
площадь каждой
такой ячейки
будет равна:
Si
= rj i
rj (3)
Что
касается ячеек
Sij
неправильной
формы, примыкающих
к границе Г
области интегрирования
S,
то эти ячейки
не повлияют
на значение
двойного интеграла
и мы их будем
игнорировать.
В качестве
точки Mij
Sij
для простоты
выберем вершину
ячейки Sij
с полярными
координатами
rj
и i.
Тогда декартовые
координаты
точки Mij
равны: И
следовательно,
f(xij,yij)
= f(rj
cos i,
rj
sin i) (3')
Двойной
интеграл (1)
представляет
собой предел
двумерной
интегральной
суммы, причем
можно показать,
что на значение
этого предела
не влияют добавки
к слагаемым
интегральной
суммы, являющиеся
бесконечно
малыми высшего
порядка малости,
поэтому учитывая
формулы (3) и (3'),
п
(4)
где
d -
максимальный
диаметр ячеек
Sij
и сумма распространена
на все ячейки
указанного
выше вида, целиком
содержащиеся
в области S.
С другой стороны,
величины i
и rj
суть числа и
их можно рассматривать
как прямоугольные
декартовые
координаты
некоторых
точек плоскости
Or.
Таким образом,
сумма (4) является
интегральной
суммой для
функции
f(r
cos,
r sin)r,
с
(5)
С
(6)
Выражение
dS
= r d
dr
называется
двумерным
элементом
площади в полярных
координатах.
Итак, чтобы
в двойном интеграле
(1) перейти к
полярным
координатам,
достаточно
координаты
x
и
y
заменить
по формулам
(2), а вместо элемента
площади dS
подставить
выражение (7).
Д
Где
r1(),
r1()
- однозначные
непрерывные
функции на
отрезке [,].
(рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,)
= rf(r cos,
r sin)
Пример
1.
П
Г
Так
как
т
п
О
Н
П
Пример
2.
В
(9)
перейти
к полярным
координатам.
Область
интегрирования
здесь есть
треугольник
S, ограниченный
прямыми y=0,
y=x, x=1 (рис
4).
В полярных
координатах
уравнения
этих
прямых записываются
следующим
образом: =0,
=/4,
r cos=1
и,
следовательно,
область S
определяется
неравенствами
О
(6) и(8),
учитывая, что
и
Краснодарский
Колледж Электронного
Приборостроения
Выполнил
студент
группы 60-5ЭВТ
Немцев Михаил
Краснодар
1 |