Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры Министерство общего и профессионального образования Российской федерации. Уральский Государственный Технический Университет - УПИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ. Выполнил: Студент группы Х-149 Покровский П.В. Проверил: Преподаватель кафедры ВМ и УМФ Пироговская Л. М. Екатеринбург. 1999. 1. Координаты центра тяжести. Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек P1 (x1 ,y1 ); P2 (x2 ,y2 ); ... , Pn (xn ,yn ) c массами m1 ,m2 ,m3 , . . . , mn . Произведения xi mi и yi mi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox. Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами: Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел. 2. Центр тяжести плоской фигуры. Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1 (x), y=f2 (x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры. Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1 , . . . , x=xn =b на полоски ширины Dx1, Dx2 , . . ., Dxn . Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2 (x)-f1 (x), где x, то масса полоски будет приближенно равна (i = 1, 2, ... ,n). Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника: Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры: Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры: Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось). 3. Координаты центра тяжести плоской фигуры В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1 , P2 , . . ., Pn c массами m1 , m2 , . . ., mn определяются по формулам . В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры: (*) Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность g. Если же поверхностная плотность переменна: то соответствующие формулы будут иметь вид Выражения и называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox. Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры. 4. Теоремы Гульдена. Теорема 1. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги. Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. II.Примеры. 1) Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2 +Y2 =a2 , расположенной над осью Ox. Решение: Определим абсциссу центра тяжести: , Найдем теперь ординату центра тяжести: 2) Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2 =ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2) Решение: В данном случае поэтому (так как сегмент симметричен относительно оси Ox) 3) Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3) полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1. Решение: По формулам (*) получаем: 4) Условие: Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии . Решение: 1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc = 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги Следовательно, 5) Условие: Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга . Решение: При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999. 2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965