Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс) 1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну. 1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то А­­В, l<0, то А­ЇВ. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n). 3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а. 2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис. Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней. Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов. Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве. ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе 4. Действия над векторами. а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k l*a=l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+ z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2 ii=1; ij=0; и т.д. скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a2=|a|2 ab=|a|*|b|*cosj а)ав=0,<=>а^в, x1x2+y1y2+z1z2=0 б)а||в - коллинеарны, если , x1/x2=y1/y2=z1/z2 5. Скалярное произведение векторов и его свойства. -(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности). 6. Векторное произведение 2х векторов. левая ----- правая Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a и c^b. 3. тройка а,в,с-правая. 7. Смешанное произведение векторов и его свойства. Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где a={ax,ay,az} b={bx,by,bz} c={cx,cy,cz} Св-ва: 1. При перестановке 2х сомножителей: a*b*c=-b*c*a 2. не меняется при перестановке циклических сомножителей: a*b*c=c*a*b=b*c*a 3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0 б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая 8. Уравнение линии и поверхности. 1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром. O(a,b,c) |OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c} r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы. x2+y2+z2=r2- ур-е сферы с центром точке(0,0). F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности. 2. Уравнение окружности |OM|=r, OM={x-a,y-b) r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- ур-е окружности а=b=0, то x2+y2=r2 F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости. 9. Плоскость в пространстве. Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору. N-вектор нормали M0M{x-x0,y-y0,z-z0} Для того, чтобы точка MОP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т.е. N*M0M=0) A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору. 10. Общее уравнение плоскости. Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0 -Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz Ax+By+Сz+D=0 Частный случай: Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0) Если A=0, то By+Сz+D=0 Если B=0, то Ax +Сz+D=0 Если C=0, то Ax+By+D=0 Если A=B=0, то Сz+D=0 Если A=C=0, то By+D=0 Если A=D=0, то By+Сz=0 Если B=D=0, то Ay+Сz=0 11. Взаимное расположение плоскостей. N1,N2-нормальные векторы плоскости. P:A1x+B1y+C1z+D1=0 Q:A2x+B2y+C2z+D2=0 P^Q{A1,B1,C1} Q^N2{A2,B2,C2} 1)Пусть P^Q<=>N1^N2 A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности P^Q. 2) Пусть P^Q<=> N1^N2 A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей. A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей. 12. Каноническое уравнение прямой в пространстве. M0M{x-x0,y-y0,z-z0} Чтобы точка МОпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S 13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки. l m n S{x2-x1,y2-y1,z2-z1} 14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой. P:A1x+B1y+C1z+D1=0 Q:A2x+B2y+C2z+D2=0 ­Общее ур-е прямой в пространстве. Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор: 1. Найдем начальную точку: Z=0 M0(x0,y0,0), т.к. Z=0 2. Найдем направляющий вектор S-? P^N1{A1,B1,C1} Q^N1{A2,B2,C2} S=N1*N2 16. Взаимное расположение прямой на плоскости. P:A1x+B1y+C1z+D1=0^N1{A1,B1} Q:A2x+B2y+C2z+D2=0^N2{A2,B2} а) то б) p ­­q<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2 в) p||q<=> N1^N2, то A1A2+B1B2=0 17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи. Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору. M0(x0,y0) M0M{x-x0,y-y0} n*M0M=0 A(x-x0)+B(y-y0)=0 Ax+By-Ax0-By0=0 -Ax0-By0=C Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости. 18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом. y-y1=k1(x-x1) y=k1x-k1x1+y1 y1-k1x1=b y=k1x+b ур-е прямой с угловым коэффициентом k. Пусть даны 2 точки M1(x1,y1), M2(x2,y2) и x1№x2, y1№y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. М2лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k: Теперь вид искомой прямой имеет вид: или: - Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и^. а) S1{l1,m1} S2{l2,m2}, или p:y=k1x+b1, k1=tgj1 q:y=k2x+b2, k2=tgj2 =>tgj=tg(j2-j1)= =(tgj2-tgj1)/(1+ tgj1tgj2)= =(k2-k1)/(1+k1k2). б) p||q, tgj=0, k1=k2 в)p^q,то 22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве. 1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0) 2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0 23. Кривые линии 2-го порядка. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где а) Каноническое ур-е эллипса - Каноническое ур-е эллипса Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности. б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1 в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2 г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2) д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1 24. Парабола и ее свойства. Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой. Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид y2=2px-симметрично отн. оси ОХ х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса. Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2 Св-ва: 1. парабола предст. собой Ґ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2. 25.Эллипс и его св-ва: Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки Аx2+Cy2=d ур.-е наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2 Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а. Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1) Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса. Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а. 26. Гипербола и ее св-ва. Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0 б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет. Св-во: для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а. б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0 в) если d<0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы. 27. Понятие о поверхностях 2го порядка. Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка. 28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции. Функция - это зависимость одной величины от другой. Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x). Определение способа задания: -аналитически (y=kx+b) -графический (график) -таблично x 1 2 3 y 4 5 8 -алгоритмически (с помощью ЭВМ) Классификация функций: Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции: 1. y=xn - степенная 2. y=ax - показательная 3. y=logax - логарифмическая 4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические. Сложные: Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)] Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х. 29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной. а) Предел последовательности: y=f(Un), где U1,U2,...Un, а Un=n/(n2+1) Предел: число а называется пределом переменной xn, если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |xn-a|<e limxn=a n®Ґ -en-a<e a-ene б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1. 2. limC=C, где С- постоянная величина 3. Если a-б.м.в., то lima=0 4. предела б.б.в. не существует 5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в. 30. Основные теоремы о пределах. 1. Предел суммы = суммы пределов: limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в. x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy. 2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей. limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва x=a+a y=b+b, где a и b - б.м.в. x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то ­сумма б.м.в. = d(дельта) xy=ab+d xy®ab, limxy=ab=limx*limy 3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела. limCx=limC*limx=C*limx 4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0 limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b x=a+a, y=b+b x/y=(a+a)/(b+b) 31. 1й, 2й замечательный пределы. 1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0 j lim((Sina)/a)=1 x®0 SDOACсектораOACDOCB SDOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то SDOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina SсектораOAC=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC) SDOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga 1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2 sina<aa//:sin 1<a/sina<1/cosa, =>cosaa/a<1, limCosaa)/a) a®0 a®0 существования предела ф-ции lim((Sina)/a)=1 a®0 2ой: lim(1+1/n)n=e»2.7183 n®Ґ Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и x®Ґ a®0 lim(1+1/n)1/a=e a®0 32. Основные приемы нахождения пределов. 1. Подстановка: при х®х0 и х0Ообласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0 limf(x)=f(x0) x®x0 2. Сокращение: при х®Ґ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0. 3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число). 4.деление на наивысшую степень х: при х®Ґ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень. 5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1 x®Ґ lim(1+1/n)x=e x®Ґ 33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале. x=x0+Dx, Dx=x-x0 Dy=f(x0+Dx)-f(x0) Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции). limDy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то limf(x)=limf(x0) x®x0 Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0 Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. 34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности. а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел. Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn+1>xn) Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn<=M. 35. Бесконечно малые величины и их св-ва: величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®Ґ, то r®0) Св-ва б.м.в.: -сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.) -произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.) -произведение б.м.величин=б.м.в. -произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в 36. Бесконечно большие величины и их св-ва. б.б.в - величина для которой |Xn|®Ґ (при xn=1/n, n®0, то xn®Ґ) Св-ва: -величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/Ґ=0; 1/0=Ґ) -сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в. -произведение 2х б.м.величин=б.м.в. -частное от деления 2х б.б.в = неопределенность 38. Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке: 1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши. 2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке. 3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса). в точке: 1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их сумма, произведение, частное (при j(х0)№0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0 2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0, то существует окрестность х0, в которой f(x)>0 3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=j(x) непрерывна в U0=j(x0), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х0. 39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл. 1. ncp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0 2. pcp.=Dm/Dl, pT=lim(Dm/Dl), где Dl®0 Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x) lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx) Dx®0 Dx®0 Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента. y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента: lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx Dx®0 Dx®0 Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0 1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1. 2) если y=x2, Dy=(x+Dx)2-x2=x2+2xDx+Dx2-x2=Dx(2x-Dx), (x2)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x x®0 Dx®0 Геометрический смысл производной. KN= Dy, MK=Dx DMNK/tg2=Dy/Dx вычислим предел левой и правой части: limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0 tga0=y` a®a0 При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0=y`, a®a0) Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0. 40. Основные правила дифференцирования. Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то: Теорема о произв. сложной функции: Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных: 41. Дифференцирование сложных ф-ций: Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Например: 42. Дифференцирование обратной ф-ции. y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy`=1/yx`. Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx`=1/xy или f`(x)=1/j`(x) Например: 43. Производные степенных и тригонометрических функций. Основные формулы: 44. Производные обратных тригонометрических функций. Основные формулы: Для сложных функций: 45. Производные показательных и логарифмических функций. Основные формулы: Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид: 46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции. y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная. y=[f(x)]j(x) - показательно-степенная ф-ция. lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х. (1/y)*y`=(lny) (x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1 y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1) Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование. Степенная ф-ция: 1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1 y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1 2.y=eU, где U=sinx U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx. 47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной. y=f(x) y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx) x®0 y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx) f(n)(x)=[f(n-1)(x)]` 48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций. Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной. y=f(x), y=x2-1 - явные F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции. 1)a2=x2+y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х. y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная y*y`=-x, y`=-x/y 2) x3-3xy+y3=0 3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3 x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0 y`y2-xy`=y-x2 y`=(y-x2)/(y2-x) 49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала. limy=A, y=A+a limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx Dx®0 Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить. dy=y`Dx Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх. Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx Если y№x, то dy=y`dx, y`=dy,dx Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx Св-ва: 1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V) 2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV 3.d(c)=c`dx=0*dx=0 4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2. 50.Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0. 51. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1№0. 52. Теорема Коши. Если f(x), g(x) удовл. трем условиям: 1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b] 2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b) 3). g’(x)№0 на интер. (a,b), то сущ. т. с g(b)№g(a) (неравны по теореме Ролля). 1). F(x) – непрерывна на [a,b] 2). F(x) – деффиренцирована на (a,b) 3). F(a)=0 ; F(b)=0 по теореме Ролля сущ. сО(a,b); F’(с)=0 53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции: Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно возрастает Если x2>x1, f(x2)1), то ф-ция монотонно убывает Монотонность - постоянство Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0) 2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0) 3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0) Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале. 3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале. x12, x2-x1>0, x2>x1 1. если f`(a)>0, то f(x2)>f(x1) 2. если f`(a)<0, то f(x2)1) 3. если f`(a)=0, то f(x2)=f(x1) 54. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной. Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности. 1- локальный max 2- локальный min 3- глобальный max 4- глобальный min если tga>0, то f`(x)>0 если tga<0, то f`(x)<0 Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует. (В них можно построить Ґ касательных). Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак: - если с “+” на “-”, то х0- т. max - если с “-” на “+”, то х0- т. min 55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба. Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках. Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке. Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого. Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0 Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0. 56. Асимптота графика ф-ции. Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает. 1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0 |f(x)|®+Ґ (вида x=b) 2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®Ґ пределов. разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®Ґ f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x) x®Ґ , то k=lim(f(x)/x) b=lim[f(x)-kx] Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y 3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота. 57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных. Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1,x2...xn), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U. Пусть f(M)=M0(x10, x20,... xn0), M(x1, x2,... xn) Ф-ция f(M)=f(x1, x2,... xn) имеет предел А при М0®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M0M|=d, то |f(M)-A|<e Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М0, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции. limf(x10, x20,... xn0)=limf(x1, x2,... xn) x10 ® x1 x20 ® x2 xn0 ® xn 58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы. а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных x=f(x,y), точка A(x0,y0) Dz=f(x0+Dx, y0+Dy)-f(x0,y0) - полное приращение. Частное приращение по х (по у): DxZ=f(x0+Dx, y)-f(x0, y0) DyZ=f(y0+Dy, x)-f(x0, y0) Частная производная ф-ция: б) dxZ=Zx`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Zy`*Dy=¶Z/¶y*dy Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить. 59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной: Z``XX=(Z`x)`x ; Z``yy=(Z`y)`y Z``Xy=(Z`x)`y=(Z`y)`x 60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных. Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y) Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0 Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0 Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует: Если Z=f(x1,x2,...xn), то ¶Z/¶xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие. Достаточный признак: где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0), B= Z``yx (x0,y0), 1) если D>0, то М0 - точка экстремума; если А<0 или С<0, то М0 - точка max; если А>0 или С>0, то М0 - точка min. 2) если D<0, то экстремума нет 3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым. 61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика. Найти: -обл. определения ф-ции -точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной -поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты -т. пересечения графика с осями координат -симметрия графика (чет./нечет): f(-x)=x симметрична относительно осей f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0) -периодичность -интервалы монотонности -точки экстремума -наибольшее и наименьшее значение -выпуклость, вогнутость -точки перегиба -поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты -нанесение на график. Л По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый: 8-901-7271056 спросить Ваню екция №1 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: вторник, 5 сентября 2000 г. Тема: Введение Условные обозначения: : - так, что def – по определению  – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)  - следует, выполняется  - тогда и только тогда  - любой  - существует ] – пусть ! – единственный [x] – целая часть ~ - эквивалентно о - малое Все R представляют десятичной дробью. Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью. Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной). Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом. x 0 – отвечает за ноль. Отрезок [0;1] отвечает за единицу Единица за единицу. Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны. Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R. Основные числовые множества. x Отрезок: [/////////] x a b Обозначается [a;b] ab Частный случай отрезка точка Или axb – в виде неравенства. х Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой. a b Обозначается (a;b) или в виде неравенства a x Полуинтервал: (/////////] x a b x [/////////) x a b Обозначается: [a;b) axb (a;b] ab Всё это числовые промежутки. Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом . x ///////////////] x (-;b] или -b b x ///////////////) x (-;b) или - b Вся числовая прямая – R=(-;+) Окрестности. Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству a-ε x-a  (////////) x  Оε(а) ε>0 а-ε а а+ε Оε(а)={xR:x-a<ε} Проколотая ε окрестность – Оε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а. Оε(а)={xR:0<x-a<ε} (////////) x а-ε а а+ε Правая ε поло окрестность точки а: О+ε(а)={x R:a x  ///////) x a a+ε Проколотая правая ε поло окрестность точки а: Оε(а)={xR:aа. Левая ε поло окрестность точки а: O-ε(a)={xR:a-εa} (//////// x a-ε a Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О-ε(а)={xR:a-εа. Модуль и основные неравенства. x; x>0 х= 0; x=0 -x; x<0 |x| -hh x>h h>0 x<-h  а,b  R: |ab|a|+|b|  а,b  R: |a-b|||a|-|b|| Можно рассматривать окрестности бесконечности: О ε(+ )={x R:x>ε} (////////// x ε>0 ε О ε(- )={x R:x<-ε} ///////////)  x ε>0 -ε 0 О ε( )={x R: x >ε} \\\\\\)  (////// x x>ε;x<-ε -ε ε Функция. Монотонность. Ограниченность. х – называется независимой переменной. у – зависимой. Функцию можно задавать равенством (у=х2) Таблицей Х Х1 Х2 Х3 Х4 У У1 У2 У3 У4 Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости: Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD) Пусть Х подмножество в области определения в f(x). Функция у=f(x) называется: Возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)2) Убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)>f(x2) 3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)f(x2) Не возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)f(x2) Определение: Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется: Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС Лекция №2 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: вторник, 12 сентября 2000 г. Тема: Функции Определение (сложная функция): Пусть задано D,E,G,C,R На D: y=f(x) с областью значения E На E: z=g(y) с областью значения G Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f. Пример: Пример z=sin ex w=arctgcos exx-ln x y=ex=f(x) z=sin y=g(y) D=R E=R+ G=[-1;1] Определение (обратной функции): Пусть существует D,E,C,R На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества: y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ  x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого х D П римеры: 1)y=x3  x=3y D=R E=R 2 )y=x2  x=y D=R+ {0}=[0;+) E=[0;+) D=R- {0}=(-;0] E=[0;) x=- y 3 )y=sinx D=[-/2;/2] E=[-1;1] x=arcsiny y[-1;1]; x [- /2; /2] Пусть y=f(x) D=[a;b] E=[A;B] Определение: y=f(x), nN a1=f(1) a2=f(2) an=f(n) {an} – множество значений силовой последовательности nN или аn { аn}={1,1/2,1/3,…,1/n,…} аn=1/n {аn}={sin1;sin2;sinn} аn=sinn аn=(-1)n/n {(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…} Ограниченные последовательности. Ограниченная сверху, то есть существует В так что аnВ, для любого nN Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аbn, для любого nN Ограниченная, то есть существует А,В так что АаnВ, для любого nN  существует С>0 так что аnС, для любого nN. Монотонные последовательности возрастающая ann+1,  nN убывающая an>an+1,  nN не возрастающая anan+1,  nN не убывающая anan+1,  nN Пределы последовательности. Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности an-a<ε   ε>0  N :  nN an-a<ε. Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности. Lim an=0 n Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0 Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)n-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε N=[1/ε]+1 ε=0.01 N=[1/0.01]+1=101 |an|<0.01, если n101 * * * an=1-1/n2 lim(1-1/n2)=1 n+ Для любого ε>0 (1-1/n2)-1<ε -1/n2<ε  1/n2<ε  n2>1/ε  n>1/ε N=[1/ε]+1 Лекция №3 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: среда, 13 сентября 2000 г. Тема: Последовательности Бесконечно малые последовательности Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0. an – бесконечно малая  lim an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется n+ an<ε Важные примеры бесконечно малой последовательности: 1)n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1 Докажем, что lim1/n=0 n+ 2) n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε Следовательно 1/n n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0 n +  3) n=ln(1+1/n) n0; 1/n; 1+1/n1 lim ln(1+1/n)=0 n+ Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/nε 1/nε-1 n>1/eε-1 N=[1/eε-1]+1 n=1-cos(1/n) lim(1-cos(1/n))=0 n+ Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε 1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0 1-cos(1/n)<ε cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1) 1/n n>1/arcos(1-ε) N=[1/arcos(1-ε)]+1 Свойства бесконечно малой последовательности. Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое. nnбесконечно малое  n+n – бесконечно малое. Доказательство. Дано: n- бесконечно малое  ε>0  N1:n>N1  n<ε n- бесконечно малое  ε>0  N2:n>N2  n<ε Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства: n<ε n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N n<ε Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 :  n>N  n+n<ε1  lim(n+n)=0, то n есть n+n – бесконечно малое. Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое. n,n – бесконечно малое  nn – бесконечно малое. Докозательство: Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1:  n>N  n<ε  N2:  n>N2  n<ε Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N = n<ε n<ε nn=nn<ε2=ε1  ε1>0 N:n>N nn<ε2=ε1 lim nn=0  nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать. n Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность аn – ограниченная последовательность n –бесконечно малая последовательность  ann – бесконечно малая последовательность. Доказательство: Так как аn – ограниченная  С>0: nN  anC Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n<ε ann=annε1/C=ε1 ε1>0 N: n>N  ann=Cε=ε1  lim ann=0 ann – бесконечно малое n Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно. Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел. lim an=a  an=a+n n+ Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n где n – бесконечно малая. Доказательство: lim an   ε>0 N:n>N  an-a<ε. Положим an-a=n  n<ε, n>N, то есть n - бесконечно малая n+ an=a+n что и требовалось доказать Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n – бесконечно малая, то есть n=an-a  ε>0 N: n>N  n=an-a<ε, то есть lim an-а n+ Теоремы о пределах числовых последовательностей. Теорема о пределе суммы: Пусть lim an=a lim bn=b  lim an+n=a+b n+ n+ n+ Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b n+ 2) Теорема о произведение пределов: Пусть lim an=a lim bn=b  lim anbn=ab n+ n+ n+ Доказательство: an=a+n bn=b+n  anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и n+ требовалось доказать. Теорема о пределе частного Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b n+ n+ n+ Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0 bn 0 (////////b/////////) x an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b) lim an/bn=a/b n+ Лекция №4 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г. Тема: Бесконечно большие последовательности . аn=(-1)n – не имеет предел. {bn}={1,1…} {an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует. Бесконечно большие последовательности. an=2n N:n>N  an>ε bn=(-1)n2n N:n>N  bn>ε cn=-2n N:n>N cn<-ε Определение (бесконечно большие последовательности) 1) lim an=+, если ε>0N:n>N  an>ε где ε- сколь угодно малое. n 2)lim an=-, если ε>0 N:n>N  an<-ε n+ 3) lim an=  ε>0 N:n>N  an>ε n+ Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел. Доказательство: an=2n Берём ε>0; хотим 2n>ε n>log2ε N=[log2ε]+1 Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный. Пример: Утверждение lim an=a< aR ε>0 NN:n>N  an-a<ε n Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  an-a<ε Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно. bn{2;0;2n;0;23;0….} Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности) Пусть lim an=a<  an - ограниченная n+ Доказательство: Дано: ε>0N:n>N  an-a<ε Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  an-a<1 a-1nn>N Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности. N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1} anc, n>N Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности). Если lim