Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка) Формулы сокращенного умножения (а ± в)2 = а2 ± 2ав + в2 (а ± в)3 = а3 ± 3а2 в + 3ав2 ± в3 а2 - в2 = (а + в) (а - в) а3 + в3 = (а + в) (а2 - ав + в2 ) а3 - в3 = (а - в) (а2 + ав + в2 ) (а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс Степени. ам ан = ам + н ам : ан = ам - н (ав)м = ам вм (ам )н = амн (а : в)м = ам : вм а- м = 1 : ам ам : н = н Ö ам Корни. н Öав =н Öа н Öв н Öа м Öв = н м Öам вн н Öа : в = н Öа :н Öв (н Öам )х = н Öам х н Öам = ам/н м Öн Öа = мн Öа (н Öа)м = н Öам Арифметическая прогрессия. а1 , а2 , а3 , …, аn -1 , аn аn -1 - аn = d d – разность прогрессии а2 = а1 + d а3 = а2 + d = а1 + 2d аn = а1 + d(n-1) Sn = (а1 + аn ) n = (2а1 + ( n-1) d) n 2 2 Sn – сумма членов арифметической прогрессии. d – разность прогрессии. d > 0 – прогрессия возрастающая d < 0 – прогрессия убывающая. Геометрическая прогрессия. а1 , а2 , а3 , …, аn -1 , аn аn +1 / аn = q а2 = а1 q q - знаменатель прогрессии. а3 = а2 q = а1 q2 аn = а1 qn -1 Сумма членов для возрастающей прогрессии (q > 1) Sn = аn q - а1 = а1 (qn -1 : q – 1) q – 1 Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1) Sn = а1 (1 - qn ) 1 - q Сумма членов бесконечно убывающей Прогрессии Sn = а1 1 - q Вектора. а = М1 М2 ={х2 – х1 , у2 – у1 , z2 –z1 } Длина вектора çа ç=Ö(х2 - х1 )2 +(у2 - у1 )2 + (z2 - z1 )2 Умножение вектора на число a а = d Скалярное произведение векторов а в = çа ççв çcosj cosj = х1 х2 + у1 у2 + z1 z2 Öх1 2 + у1 2 +z1 2 Öх2 2 +у2 2 + z2 2 а2 = çа ç2 а в = х1 х2 + у1 у2 + z1 z2 Параллельность векторов а ççв, то х1 = у1 = z1 х2 у2 z2 Перпендикулярность векторов а ^ в, то х1 х2 + у1 у2 + z1 z2 Производная. (c u)¢ = с u¢ u ¢ = u¢ v – u v¢ v v2 (c)¢ = 0 (xn )¢ = n xn-1 (ax )¢= ax ln a (ех )¢ =ех (sin x)¢ = cos x (cos x)¢ = - sin x (tg x)¢ = 1 cos2 x (ctg x)¢ = - 1 sin2 x (ln x)¢ = 1 х (1 / х)¢ = - 1 х2 (Öх)¢ = 1 2 Öх (х)¢ = 1 Логарифмы. logа в = с logа 1 = 0 logа а = 1 logа (mn) = logа m + logа n logа m = logа m - logа n n logа mn = nlogа m logа n Öm = 1 logа m n logа в = logс в logс а Основные тригонометрические тождества sin2 x + cos2 x = 1 tg x = sin x cos x ctg x = cos x sin x 1 + ctg2 x = 1 sin2 x 1 + tg2 x = 1 cos2 x tg x ctg x = 1 Формулы сложения и вычитания sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb tg (a±b) = (tga± tgb) (1 + tga tgb) ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1 ctgb±ctga sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b) 2 2 sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b) 2 2 cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b) 2 2 cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b) 2 2 tga± tgb = sin (a±b) cosa cosb ctga± ctgb = sin (b±a) sina sinb sin2 a- sin2 b = cos2 b- cos2 a = sin (a + b) sin (a-b) cos2 a- sin2 b = cos2 b- sin2 a = cos (a + b) cos (a-b) Связь между тригонометрическими функциями sina = ±Ö1 - cos2 a sina = tga ±Ö1 + tg2 a sina = 1 ±Ö1 + ctg2 a cosa = ±Ö1 - sin2 a cosa = 1 ±Ö1 + tg2 a cosa = ctga ±Ö1 + ctg2 a tga = sina ±Ö1 - sin2 a tga = ±Ö1 - cos2 a cosa tga = 1 ctga ctga = ±Ö1 - sin2 a sina ctga = cosa ±Ö1 - cos2 a ctga = 1 tga Формулы преобразования произведения sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b) 2 cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b) 2 sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b) 2 tga tgb = tga + tgb ctga + ctgb ctga tgb = ctga + tgb tga + ctgb ctga ctgb = ctga + ctgb tga + tgb Формулы двойных углов sin2a = 2 sina cosa sina = 2 sin (a) cos (a) cos2a = cos2 a- sin2 a = = 1 - 2sin2 a = = 2cos2 a- 1 tg2a = 2 tga 1 - tg2 a = 2 ctga- tga tga = 2 tg (a/2) 1 - tg2 (a/2) ctg2a = ctg2 a- 1 2 ctga = ctga- tga 2 ctga = ctg2 (a/2) - 1 2 ctg (a/2) sin x = a x = (-1)n arksin a + pn cos x = a x = ± arkcos a + 2pn tg x = a x = arktg a + pn ctg x = a x = arkctg a + pn Формулы приведения sin (p /2 -a) = + cosa sin (p /2 + a) = + cosa sin (p-a) = + sina sin (p + a) = - sina sin (3p/2 -a) = - cosa sin (3p /2 + a) = - cosa sin (2p-a) = - sina sin (2p + a) = + sina ---------------- cos (p/2 -a) = + sina cos (p/2 + a) = - sina cos (p-a) = - cosa cos (p + a) = - cosa cos (3p/2 -a) = - sina cos (3p/2 + a) = + sina cos (2p-a) = + cosa cos (2p + a) = + cosa ----------------- tg (p/2 -a) = + ctga tg (p/2 + a) = - ctga tg (p-a) = - tga tg (p + a) = + tga tg (3p/2 -a) = + ctga tg (3p/2 + a) = - ctga tg (2p-a) = - tga tg (2p + a) = + tga ------------- ctg (p/2 -a) = + tga ctg (p/2 + a) = - tga ctg (p-a) = - ctga ctg (p + a) = + ctga ctg (3p/2 -a) = + tga ctg (p/2 + a) = - tga ctg (2p-a) = - ctga ctg (2p + a) = + ctga sin (-a) = - sina cos (-a) = cosa tg (-a) = - tga В прямоугольном треугольнике a2 + b2 = c2 a = c sina a = b tga b = c cosa теорема синусов: a = b = c sina sinb sing теорема косинусов: a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa S = ½ ab Площади фигур Прямоугольник S = a b = ½ d1 d2 sina, d1 и d2 - диагонали a - угол пересечения диагоналей Параллелограмм S = a h = a b sina S = ½ d1 d2 sina Трапеция S = a + b h = ½ d1 d2 sina 2 Круг S = l r = p r2 2 ТРЕУГОЛЬНИК S = ½ ah = ½ ab sina Формула Герона: S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c) p = a +b + c 2 Площадь треугольника описанного окружностью: S = a b c 4r Площадь треугольника с вписанной окружностью: S = ½ r P где Р – периметр радиус описанной окружности: R = a b c 4S радиус вписанной окружности: r = 2S a + b + c длина окружности: l = 2pr Квадрат S = a2 = d2 /2 Ромб S = a2 sina = ah = ½ dD где d - малая диагональ D - большая диагональ Объемы тел: Параллелепипед V = Sосн h Куб V = abc = a3 Призма V = Sосн h = S^ сеч l l - г рань призмы Пирамида V = 1/3 Sосн h Цилиндр V = Sосн h = pr2 h = 1/4pd2 h r - радиус основания d - диаметр основания Конус V = 1/3 Sосн h = 1/3 pr2 h Шар V = 4/3 pr3 Площади поверхностей Призма Sп = Sбок + 2Sосн Sбок = ph = S^ сеч l p = a + b +c Куб Sп = 6a2 Пирамида четырехугольная Sп = Sбок + Sосн Sбок = ½ Pосн h h – высота боковой грани Пирамида треугольная Sп = Sбок + Sосн Sбок = Sосн cosj j - угол наклона грани Цилиндр Sп = Sбок + Sосн Sбок = 2prh Sосн = 2pr (h + r) Конус Sп = Sбок + Sосн Sбок = prl Sосн = pr (l + r) Параллелепипед Sп = Sбок + 2Sосн Sбок = Pосн l Шар S = 4 pr2 Значения углов a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0 cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1 tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0 ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -