Математические уравнения и функции Варивант №2 З адание 1 Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти: 1. Длину стороны АВ; 2. Внутренний угол А с точностью до градуса; 3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С; 4. Точку пересечения высот; 5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С; 6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС; 7. Сделать чертеж; Решение: 1. Найдем координаты вектора АВ: Длина стороны АВ равна: 2. Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1) Тогда 3. Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор . По формуле получим уравнение высоты: Сокращаем на 3 получим уравнение высоты: 4. Координаты основания медианы будут: ; Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0 5. Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений: х=11 у=23 6. Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . Теперь воспользовавшись формулой Подставляя в нее координаты точки С(0,3) Задание 2 Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе. Решение: 1. Докажем, что подсистема линейно независима: Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана. Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов . Очевидно, Найдем представление через . Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три Получили , что данная система векторов не может называться базисом! Задание 3 Найти производные функций: Задание 4. Исследовать функцию и построить ее график 1. Область определения: , то есть 2. Кривая имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0. 3. Функция общего вида, так как и 4. Функция периодичностью не обладает 5. Находим производную функции Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5. Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы х 1 5 y’ - - 0 + 0 - y убывает убывыает 0 min возрастает 0,074 убывает 6. Находим вторую производную функции Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11 Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы. х 0.22 6.11 y” - + 0 + 0 - y выпукла вогнута 0,335 перегиб вогнута 0,072 выпукла 7. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу получаем точку (0;1); получаем точку (1;0) 8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166 9. Строим график в соответствии с результатами исследований: Задание 5 Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием. а) ; б) ; в) ; г) Решение: а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно: Проверка: б) сделаем подстановку Проверка: в) Воспользуемся способом интегрирования по частям Проверка: г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей Проверка: Задание 6 Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: Решение: находим координаты точек пересечения заданных графиков функций: приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение корни этого квадратного уравнения следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем: т.к получаем: