Лекция по курсу эконометрика 5 6 вариант Задача 1 1. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции: № п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Общая сумма ущерба, млн.руб. 26,2 17,8 31,3 23,1 27,5 36,0 14,1 22,3 19,6 31,3 Расстояние до ближайшей станции, км 3,4 1,8 4,6 2,3 3,1 5,5 0,7 3,0 2,6 4,3 Построить поле корреляции результата и фактора Поле корреляции результата (общая сумма ущерба) и фактора (расстояние до ближайшей пожарной станции). На основании поля корреляции можно сделать вывод , что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость. 2. Определить параметры а и b уравнения парной линейной регрессии: где n число наблюдений в совокупности ( в нашем случае 10) a и b искомые параметры x и y фактические значения факторного и результативного признаков. Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y ( ŷ). В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи. № X Y X² x·y y² ŷ (y-ŷ) (x-x) (ŷ-y)² 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 3,4 26,2 11,56 686,44 89,08 26,20 0,00 0,0729 1,6384 3. 1,8 17,8 3,24 316,84 32,04 18,70 0,81 1,7689 36,6884 4. 4,6 31,3 21,16 979,69 143,98 31,80 0,25 2,1609 47,3344 5. 2,3 23,1 5,29 533,61 53,13 21,00 4,41 0,6889 15,3664 6. 3,1 27,5 9,61 756,25 85,25 24,80 7,29 0,0009 0,0144 7. 5,5 36 30,25 1296 198 36,00 0,00 5,6169 122,7664 8. 0,7 14,1 0,49 198,81 9,87 13,50 0,36 5,9049 130,4164 9. 3 22,3 9 497,29 66,9 24,30 4,00 0,0169 0,3844 10. 2,6 19,6 6,76 384,16 50,96 22,40 7,84 0,2809 6,3504 11. 4,3 31,3 18,49 979,69 134,59 30,40 0,81 1,3689 30,0304 ∑ 31,3 249,2 115,85 6628,78 863,8 249,1 25,77 17,881 390,9900 Коэффициент регрессии (b ) показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y . Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн.руб. Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид: 3. Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле: В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y и x, r = 0.957. Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии 4. Статистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов: и ее среднее квадратическое отклонение: Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле: Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как Полученное фактическое значение tb сравнивается с критическим tk , который получается по талблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L = 0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к. Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера Фактическое значение критерия для уравнения определяется как Fфакт сравнивается с критическим значением Fк , которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L =0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы: Следовательно, при F факт > Fк уравнении регрессии в целом признается существенным. 5. По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции уменьшится на 5% от своего среднего уровня Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза: а точечный прогноз : Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L =0,05) по формуле Табличное значение t - критерия Стьюдента для уровня значимости L =0,05 и числа степеней свободы п-2=10-2=8, Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитываемая по формуле Отсюда доверительный интервал составляет: Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из формулы связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10) , а также тем, что по мере удаления xk от ширина доверительного интервала увеличивается. Задача 2 Имеются следующие данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, также о доходности компании. № цена акции лоллар США доходность капитала % уровень дивидендов % 1 25 15,2 2,6 2 20 13,9 2,1 3 15 15,8 1,5 4 34 12,8 3,1 5 20 6,9 2,5 6 33 14,6 3,1 7 28 15,4 2,9 8 30 17,3 2,8 9 23 13,7 2,4 10 24 12,7 2,4 11 25 15,3 2,6 12 26 15,2 2,8 13 26 12 2,7 14 20 15,3 1,9 15 20 13,7 1,9 16 13 13,3 1,6 17 21 15,1 2,4 18 31 15 3 19 26 11,2 3,1 20 11 12,1 2 1. построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров Составим расчетную таблицу № y X1 X2 X2*X2 X1*X1 y*X1 y*x2 X1*X2 1 25 15,2 2,6 6,76 231,04 380 65 39,52 2 20 13,9 2,1 4,41 193,21 278 42 29,19 3 15 15,8 1,5 2,25 249,64 237 22,5 23,7 4 34 12,8 3,1 9,61 163,84 435,2 105,4 39,68 5 20 6,9 2,5 6,25 47,61 138 50 17,25 6 33 14,6 3,1 9,61 213,16 481,8 102,3 45,26 7 28 15,4 2,9 8,41 237,16 431,2 81,2 44,66 8 30 17,3 2,8 7,84 299,29 519 84 48,44 9 23 13,7 2,4 5,76 187,69 315,1 55,2 32,88 10 24 12,7 2,4 5,76 161,29 304,8 57,6 30,48 11 25 15,3 2,6 6,76 234,09 382,5 65 39,78 12 26 15,2 2,8 7,84 231,04 395,2 72,8 42,56 13 26 12 2,7 7,29 144 312 70,2 32,4 14 20 15,3 1,9 3,61 234,09 306 38 29,07 15 20 13,7 1,9 3,61 187,69 274 38 26,03 16 13 13,3 1,6 2,56 176,89 172,9 20,8 21,28 17 21 15,1 2,4 5,76 228,01 317,1 50,4 36,24 18 31 15 3 9 225 465 93 45 19 26 11,2 3,1 9,61 125,44 291,2 80,6 34,72 20 11 12,1 2 4 146,41 133,1 22 24,2 итого 471 276,5 49,4 126,7 3916,59 6569,1 1216 682,34 Опрелеляем По Данным таблицы составим систему нормальных уравнений с тремя неизвестными: Разделим каждое уравнение на коэффициент при a . Вычтем первое уравнение из второго и третьего Разделим каждое уравнение на коэффициент при Сложим оба уравнения и найдем Таким образом, уравнение множественной регрессии имеет вид Экономический смысл коэффициентов и в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение цены акции при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении доходности капитала на один процентный пункт, цена акции измениться в том же направлении на 0,686 долларов; при изменении уровня дивидендов на один процентный пункт цена акции изменится в том же направлении на 11,331 доллара. 2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Будем рассчитывать частные коэффициенты эластичности для среднего значения фактора и результата: Э - эластичность цены акции по доходности капитала Э - эластичность цены акции по уровню дивидендов 3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии формулы определения: где j- порядковый номер фактора - среднее квадратическое отклонение j-го фактора (вычислено раньше) =2,168 = ,0484 - среднее квадратическое отклонение результативного признака =6,07 4. сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов. Коэффициенты эластичности факторов говорят о том, что при отклонении величины соответствующего фактора от его средней величины на 1% (% как относительная величина) и при отвлечении от сопутствующего отклонения другого фактора входящего в уравнение множественной регрессии, цена акции отклонится от своего среднего значения на 0,403% при действии фактора (доходность капитала) и на 1,188% при действии фактора (уровень дивидендов). Таким образом сила влияния фактора на результат (цену акции) больше, чем фактора , а сами факторы действуют в одном и том же положительном направлениии. Количественно фактор приблизительно в три раза сильнее влияет на результат чем фактор . ( ) Анализ уравнения регрессии по стандартизованным коэффициентам показывает, что второй фактор влияет сильнее на результат, чем фактор ( ), т.е. при учете вариации факторов их влияние более точно. 5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции. Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам: Частные коэффициенты корреляции определяются по ф-ле: Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле: Матрица парных коэффициентов корреляции Из таблицы видно, что в соответствии со шкалой Чеддока связь между и можно оценить как слабую, между и - как высокую, между и связь практически отсутствует. Таким образом, по построенной модели можно сделать вывод об отсутствии в ней мультиколлениарности факторов. Частные коэффициенты корреляции рассчитывались как оценки вклада во множественной коэффициент корреляции каждого из факторов ( и ). Они характеризуют связи между результативными признаками (ценой акции) и соответствующим фактором x при Причина различий между значениями частных и парных коэффициентов корреляции состоит в том, что частный коэффициент отражает долю вариации результативного прихнака (цены акции), дополнительно объясняемой при включении фактора (или ) после другого фактора (или ) в уравнение регрессии, не объяснимой ранее включенным фактором (или ). 6