Цепные дроби вокруг нас А. Устинов Всякое рациональное число p/q можно представить в виде конечной цепной дроби p = a0 + 1 = [a0; a1, …, an]. q a1 + … + 1 an Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными, из них a1, …, an — натуральные, a0 — целое. Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби. Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями (нумерация подходящих дробей, как и неполных частных, начинается с нуля). Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …] с древних времён известны приближения 22 7 = [3; 7] и 355 113 = [3; 7, 15, 1]. При этом π – 22 7 < 1, 3 · 10–3, π – 355 113 < 2, 7 · 10–7. Квадратичные иррациональности (иррациональные корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами), и только они, раскладываются в периодические цепные дроби. Например (черта отмечает период), √5 = [2; 4, 4, 4, …] = [2; 4], √13 = [3; 1, 1, 1, 1, 6 ], Если, разорвав прямоугольный лист бумаги пополам, мы хотим получить два новых листа с тем же отношением сторон, то стороны исходного листа должны относиться друг к другу как √2 : 1. Именно таким свойством обладают форматы бумаги серии A (A0, A1, …). Размеры стандартного листа бумаги A4 — 210×297 мм. Их отношение 297 210 = 99 70 = [1; 2, 2, 2, 2, 2] есть пятая подходящая дробь к числу √2 = [1; 2]. Разница между ними на глаз не заметна: √2 – 297 210 < 7, 3 · 10–5. Произведение сторон листа (в метрах) мало отличается от 1/16: 0, 297 · 0, 210 – 1 16 = 1, 3 · 10–4. Это связано с тем, что лист A4 составляет 1/24 = 1/16 от ватманского листа A0, площадь которого равна 1 м2. Отношение напряжений в трёхфазных электрических сетях 380 220 = 19 11 = [1; 1, 2, 1, 2], 220 127 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2] — это хорошие приближения к числу √3 = [1; 1, 2, 1, 2, …] = [1; 1, 2 ]. Подходящие дроби к длине солнечного года, измеренного в солнечных сутках, — 365, 24219… = [365; 4, 7, 1, 3, 5, …] — позволяют строить календарные стили. Первая подходящая дробь 365 1/4 соответствует юлианскому стилю, в котором каждый четвёртый год — високосный. В средние века от него отказались, поскольку он даёт заметную ошибку: 11 минут 14 секунд в год. Третья подходящая дробь [365; 4, 7, 1] = 365 8/33 лежала в основе персидского календаря, который в 1079 году предложил математик, астроном и поэт Омар Хайям. Такой календарь за год ошибается на 19 секунд. В нём все годы разбиты на 33-летние циклы, внутри цикла семь раз високосным считается каждый четвёртый год, а на восьмой раз — пятый. Календарь, основанный на следующем (четвёртом) приближении [365; 4, 7, 1, 3] = 365 31/128 предлагался астрономом Иоганном Генрихом Медлером в 1864 году. Он не был принят, хотя за год давал бы ошибку всего в одну секунду. Мы живём по григорианскому стилю, использующему приближение 365 97/400. . Этот календарь ошибается примерно на 27 секунд в год. Голландский учёный Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колёс, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет. В ботанике известно явление филлотаксиса — спиралевидного расположения листьев, колючек, чешуек, семян, … Если посчитать количество спиралей, закручивающихся в одну и в другую стороны, то, как правило, получатся два соседних числа Фибоначчи, т.е. числа из последовательности {Fn} = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …}, в которой F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn–1 (n ≥ 1). Так, на сосновой шишке есть 3 спирали, закручивающиеся в одну сторону, и 5 — в другую. На еловой — 5 и 8 спиралей соответственно, на кедровой — 8 и 13. Отношения соседних чисел Фибоначчи раскладываются в очень простые цепные дроби, например, 5 3 = [1; 1, 1, 1], 8 5 = [1; 1, 1, 1, 1]. Это подходящие дроби к числу, называемому золотым сечением: 1 + √5 = 1 + 1 = [1]. 2 1 + … + 1 1 + … Расположение листьев по таким спиралям позволяет растениям получать наибольшее количество солнечных лучей. На рисунках 1 и 2 изображён «чертёж» сосновой шишки. Рис.1. Рис.2. Представьте, что эти квадраты вырезаны из бумаги и склеены в цилиндры (левая сторона склеена с правой, а заштрихованные квадраты одного цвета наклеены друг на друга). Тогда повёрнутые квадраты будут располагаться на цилиндре так же, как располагаются чешуйки на сосновой шишке. На рисунке 1 видно 3 спирали, закрученные в одну сторону, а на рисунке 2 — 5 спиралей, закрученных в другую. Попробуйте нарисовать «чертёж» еловой шишки с 5 и 8 спиралями. Воспользуйтесь для этого миллиметровой бумагой, вам понадобится квадрат 89×89. Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Если струна длины l (при заданном натяжении) издаёт звук «до» первой октавы, соответствующий частоте f, равной 512 колебаниям в секунду, то струна длиной 2/3l (на струнных инструментах эта длина получается нажатием пальца в соответствующем месте) издаёт звук, имеющий частоту 3/2f (натуральная квинта), а струна длиной 1/2l издаёт звук, имеющий частоту 2f (октава). Наше ухо при сравнении двух звуков улавливает не отношение их частот, а логарифм этого отношения. Естественней всего брать двоичный логарифм, чтобы интервал в одну октаву измерялся как единица: log2 2f f = 1. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем. Подходящими дробями к числу log2 3 2 = [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, …] будут дроби 1 1 , 1 2 , 3 5 , 7 12 , … Приближения 1 и 1/2 слишком грубые. Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существовавшей у народов Востока, а приближение 7/12 — самое удачное. Погрешность log2 3 2 – 7 12 < 1, 7 · 10–3 на слух неразличима.