Частинні похідні і диференціали вищих порядків Пошукова робота на тему: Частинні похідні і диференціали вищих порядків. П лан Частинні похідні вищих порядків Теорема про рівність змішаних похідних Диференціали вищих порядків 6.11.Частинні похідні вищих порядків Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо: - функція два рази диференціюється по ; - функція диференціюється по , а потім по ; - функція диференціюється по , а потім по ; - два рази диференціюється по . Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції . Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків. Приклад. Знайти другі частини похідних від функції . Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні: ; . Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку: . В розглянутому прикладі . Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема. Теорема . Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці , тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними. Доведення теореми опускаємо. Зауваження . Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків. Нехай - диференційована в області функція двох незалежних змінних і . В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал: . Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і , одержимо функцію двох змінних і , означену в області . Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці . Позначається або . Отже, за означенням . Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, . Якщо функція в області має неперервні частинні похідні до - го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх: тощо. Введемо символічну - у степінь : вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну - у степінь із подальшою зміною степенів і , помножених на , частинними похідними відповідного порядку від функції . Тоді (6.72) ……………………………………………. Зауваження . Якщо - диференційована функція проміжних змінних і , які, в свою чергу, є диференційованими функціями і , то, обчислюючи , і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів. Так, Тут і - не є постійними (постійні ). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.