Основы теории вероятности Контрольная работа Основы теории вероятности Задание 1 Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.” p1 = 0.7 p2 = 0.8 p3 = 0.9 p4 = 0.7 p5 = 0.8 Проверка теоремы с помощью программы: Текст программы: Program Cep; Uses CRT; Const c=5; Var op,i,j,n,m:integer; a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real; p:array[1..c] of real; x:array[1..c] of byte; Begin ClrScr; Randomize; p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8; Writeln(' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln; For op:=1 to 20 do Begin n:=op*100;m:=0; Write(' n=',n:4); For i:=1 to n do Begin For j:=1 to c do Begin x[j]:=0; a:=random; if a<p[j] then x[j]:=1; End; rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]); If rab>0 then m:=m+1; End; pp:=m/n; writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3); End; ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]); ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]); ppp:=ppp1-ppp2; Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3); Readln; End. Результаты работы программы Опытов М-сходы Вер-ть n= 200 n= 300 n= 400 n= 500 n= 600 n= 700 n= 800 n= 900 n=1000 n=1100 n=1200 n=1300 n=1400 n=1500 n=1600 n=1700 n=1800 n=1900 n=2000 n= 100 M= 163 M= 247 M= 337 M= 411 M= 518 M= 591 M= 695 M= 801 M= 908 M= 990 M= 1102 M= 1196 M= 1303 M= 1399 M= 1487 M= 1576 M= 1691 M= 1782 M= 1877 M= 94 P*= 0.815 P*= 0.823 P*= 0.843 P*= 0.822 P*= 0.863 P*= 0.844 P*= 0.869 P*= 0.890 P*= 0.908 P*= 0.900 P*= 0.918 P*= 0.920 P*= 0.931 P*= 0.933 P*= 0.929 P*= 0.927 P*= 0.939 P*= 0.938 P*= 0.939 P*= 0.940 Вер. в опыте: p= 0.939 Проверка в ручную: Первый способ: Второй способ: Вывод: Теорема Бернулли верна Задача № 2 Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8) Исходы: 1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1 1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2 1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3 n = 36 – кол-во комбинаций 1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4 1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5 1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6 а). Сумма чисел не превосходит N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 26 Вероятность б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16 Вероятность в). Произведение числа очков делится на N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 5 Вероятность Задача № 3 Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i - го сорта равно ni , i = 1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2 , m3 и m4 второго, третьего и четвёртого сорта соответственно. Задача № 4 В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже. k = 11, n = 4 а) Все на разных: n = 114 = 14641 б) Хотя бы два на одном: Задача № 5 В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное. k1 = 86% , k2 = 32% A1 - доброкачественные в 1-й партии A2 - доброкачественные в 2-й партии а). одно бракованное: б). два бракованных: в). Одно доброкачественное и одно бракованное: Задача № 6 Из 1000 ламп ni принадлежат i – партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная. n1 = 700 n2 = 90 n3 = 210 p1 = 0.06 p2 = 0.05 p3 = 0.04 Пусть: H1 – взяли из 1-й партии H2 – взяли из 2-й партии H3 – взяли из 3-й партии Пусть Bi – брак из i - й партии => Так как то => Задача № 7 В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые. k = 8, l = 7, m = 3, n = 3 Пусть: H1 – все чистые марки H2 – 1-чистая, 2-гашёные H3 – 2-чистые, 1-гашёная H4 – все гашёные По теореме о полной вероятности: Задача № 8 В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет mi % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n1 % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом. m1 = 60 m2 = 20 m3 = 20 n1 = 70 n2 = 80 n3 = 90 Пусть: H1 – поставил первый завод H2 – поставил второй завод H3 – поставил третий завод Пусть: А – первосортных изделий => По формуле Бейсса: => так как i = 3 Задача 9 Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. p = 0.3 - вероятность на 1 билет n = 15 - кол-во купленных билетов Формула Бернули : m = 1,2,3,4,…..,n Производная функция : q = 1 – p Наивероятнейшее число выигравших билетов => Наивероятнейшее число выигравших билетов : m0 = 4 - соответствующая вероятность Задача № 10 Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев. р = 0.007 - вероятность “сбоя” при вызове n = 1000 - кол-во вызовов m = 7 - кол-во “сбоев” По закону Пуассона: => Задача № 11 По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ. Биномиальный закон: n = 3 p = 0.67 => => Литература 1. Е.С. Венцель “Теория вероятности” 2. В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР” 3. Курс лекций по Теории вероятности