Учебная книга: Современные методы теории функции Зильберта Министерство Образования и Науки Украины Харьковский национальный университет А.А. Тензор, В.В. Невязкин Современные методы теории функции Зильберта ТОМ 3 Харьков 2008 DSFGIH904 ДЖ7ПИВО61 Издание третье, дополненное и недоделанное Р е ц е н з е н т ы : Бюншман, Треугольник, Хвилиппов, Петросян, Штрассерман, Штольц, Коклюшкин © 2008 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта ОГЛАВЛЕНИЕ : Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина 4 Лирическое отступление 7 Принцип Максима Понтрягина 8 Обобщение принципа Максима Понтрягина 9 3гономе3ческие функции 10 Определение функции Зильберта 11 Замечательно 12 Задачки 13 Вопросы к экзамену 13 Список использованной макулатуры 15 Теория полиномов Зильберта-Зажигалкина Интегруй – не интегруй, Всё равно получишь …! Народная мудрость Определение . C a b c [ , , '] – пространство функций, непрерывных в треугольнике ABC ' . Определение . Говорят, что, а слышится “што” ! Определение . Если ∀ε∃δ, то говорят, что выполнено условие Коши-Зильберта . Определение . Говорят, что на C a b c [ , , '] задан полином Зажигалкина zh (x ), если ∀x x 1 , 2 ∈C a b c [ , , '] ∃zh x ( ) ∈C 32 (C a b c [ , , ']) : 1. ∀ε∃δ(выполнено условие Коши-Зильберта); 2. ∀ξ∃η; 3. для ∀ разбиения T многоугольника ATBCEB на треугольники, измеримые по Зильберту, sup x x 1 − <2 ξ η≥[ ] 1+ . T Тогда полином Зажигалкина имеет вид. Упражнение . Доказать, что пространство C a b c [ , , '] является банаховым пространством. Определение . На пространстве C a b c *[ , , '] (C со снежинкой) два функционала называются квазиэквивалентными , если при действии на них полиномом Зажигалкина получается одно и то же почти всюду на C a b c [ , , '] отрицательное число. Это число называется константой Мопиталя . Замечание . На линейные ограниченные функционалы можно подействовать ещё и вектором. Теорема . Полином Зажигалкина всегда и только всегда является квазиполиномом с выколотой границей, если все его коэффициенты кроме, быть может, j -ого представляют собой константы Мопиталя. Единственное свойство полиномов Зажигалкина : Определения полинома Зажигалкина по Коши и по Гейне квазиэквивалентны. Теоремка (Зильберта-Зажигалкина) ∀ n -угольник конформным преобразованием можно перевести в правильный m -угольник так, что граница перейдёт во внутренность, а внутренность – в границу. Утверждение . Полином Зажигалкина n -ой степени сходится к n -угольнику “отнюдь не сразу” . Леммка . Полином Зажигалкина является -периодическим. Доказательство . Полином Зажигалкина определён на пространстве C a b c [ , , '] и непрерывен в треугольнике ⇒ он 3πпериодичен. Далее методом мат. дедукции доказывается -периодичность, и так далее до . Теорема ( признак слаборавномерной полунепрерывности сверху) Полином Pn (x ) слаборавномерно полунепрерывен сверху, если он представим в виде криволинейной комбинации квазиполиномов Зажигалкина. (Доказывается методом усилий) Лемма . Подграфик полинома Зажигалкина монотонно выпуклый чутьчуть влево. Доказательство . Введём начало координат – точку 0, и конец координат – точку ∞ . Переименуем вершины треугольника так, координат Картина Шмалевича “круг и треугольник” чтобы полином Зажигалкина чувствовал себя в нём конформно. Далее методом логических догадок приходим к выводу, что теорема верна. Очень важное замечание : Зажигалкин ЖЖОТ! Теорема . В силу теоремы Зильберта-Зажигалкина (там что-то про n - и m угольники -) теорию полиномов, непрерывных в треугольнике можно обобщить до m -угольников класса гладкости, равного константе Мопиталя. Лирическое отступление Из чего же, из чего же, из чего же Сделана формула Грина? Из производных, из интегралов, Из градиентов и функционалов Сделана формула Грина! *** Принцип Максима Понтрягина Потрясающая теорема . Рассмотрим функционал «ШЫ » (от франц. shit) b b < ШЫ , zh >= tg ∫∫ (lh τ+ c dc ') ' , a a где lh x ( ) – гиперболический логарифм x . Этот функционал достигает апогея (неистово стремится к max) тогда и только тогда, когда max стремится к функционалу «ШЫ ». Определение . В таком случае говорят, что ШЫ =XO (max) («хо большое »). Определение . Условием ГорЭлектроТрансверсальности называется перпендикулярность функционала ШЫ железнодорожным путям, т. е. равенство нулю скалярного произведения. Напомним, что в пространстве C a b c [ , , '] скалярное произведение – это произведение интеграла и матрицы b 1 ⎛a 2 −λ b 2 c 2' ⎞ ⎜ ⎟ (ABC ABC 1 1 1', 2 2 2')=−(∫dc 1',⎜ b 2 c 2'−λ a 2 ⎟) a 1 ⎜⎝ c 2' a 2 b 2 −λ⎟⎠ Теорема (без доказательства) . В случае, когда матрица диагонализируется, скалярное произведение равно π. Теорема (без формулировки) . Доказательство . В силу формулировки теоремы, из (1), (2) и (3) следует (4). Значит, в силу непрерывности функции Зильберта З(х) и по условию ГорЭлектроТрансверсальности, выполняется и требуемое условие (5). Теорема доказана. Следствие . Если в предыдущей теореме вместо функции Зильберта З(х) везде подставить полином Зажигалкина zh , теорема останется верной при ∀t и доказывается точно так же. Упражнение . r r r Доказать, что тройка векторов {ШЫ З х , ( ), zh } образует базис в пространстве C a b c [ , , '] (использовать метод ортогонализации Грамма-Шмидта запрещается). Обобщение принципа Максима Понтрягина Рассмотрим замыкание пространства C a b c [ , , '], а именно пространство C a b c [ , , '] непрерывных в криволинейном треугольнике ABC ' функций (примеры криволинейных треугольников были рассмотрены в томе 1). r r r На этом пространстве векторы {ШЫ З х , ( ), zh } мона интегрировать, косинусировать и брать от них невязку с двойным пересчётом. Вопрос . Почему нельзя тангенцировать? Определение . Зильбертов кирпич – это кирпич в пространстве C a b c [ , , '] со сторонами a , b , . Вопрос . Можно ли из зильбертовых кирпичей построить дачу? 3гономе3ческие функции sinn x Определение . Функция синнус на пространстве Зильберта определяется следующим образом: sinn(x )=sin(n ⋅ x ) Эта функция названа так в честь эстонского математика Отто Синнуса. Функция синнус похожа на обычный синус, только она гораздо медленнее стремится к , потому что ей некуда спешить! narccos x Определение . Функция нарккосинус выражается через арккосинус так: narccos(x )=n ⋅arcos(x ) gensec x Определение . Функция генсеконс : ⎡g = 9.8⎤ gensec(x )= g e n ⋅ ⋅ ⋅sec(x )= ⎢ ⎥ = 26.46⋅n ⋅sec(x ). ⎣e = 2,7⎦ Основное 3гономе3ческое тождество Теорема . Функции нарккосинус и генсеконс связаны тождеством: narccos2 (x )+ gensec2 (x )=1991. *** Теперь, когда теоретическая основа положена и все теоремы доказаны, можно наконец дать определение функции Зильберта З(х). Определение (функции Зильберта) Итак, рассмотрим конформное отображение Г матриц из пространства Зильберта Zn в пространство функций, непрерывных в треугольнике C a b c [ , , ']. Подействуем полиномом Зажигалкина на вектор нормали к пространству LC a b c 2 [ , , ']. По теореме Зильберта-Лиувилля, получим оператор Ы , умноженный на константу Ц . Эта константа является кусочно-непрерывной на кривоугольном отрезке [a b c , , '] , поэтому её можно, и, более того, желательно разделить на 0, особенно если 0 попадёт в тот кусочек, где она разрывна. Далее интегрируем оператор Ы от А до Я . Применяя метод Симпсона к полученному выражению, найдём значение sinnΘ(η) в точках излома. Таким образом, наша задача сводится к полноценной задаче Гольца с тремя закреплёнными концами и одним ослабленным. Эта задача записывается в виде: J < Θ >ds →minn (1) Условия ГорЭлектроТрансверсальности: ⎧J (0) =π , ⎪ 2 ⎪ ⎨⎪J (π 2) =∞ 8 , (2) ⎪J (Ц Ц ) = ! ⎩ Решение этой задачи называется функцией Зильберта З(х). Это конец! Замечательно . Теория функции Зильберта является фундаментальной . Это означает, что любая последовательность теорем сходится к любой доказанной теореме, значит, и все теоремы из этой последовательности также верны. Эта теория такG полная , т. к. любая её подтеория является сходящейся, и очень сепарабельная (хрен его знает, что это такое!). Задачки 1. Найти максимум минимума супремума инфинума функции Зильберта в точке .е. p{inf{ ( )}}}}| ? Решение. Начнём с конца. Рассмотрим разбиение T пространства Зильберта Zn . Тогда sup{inf{ ( )}}З х =З х ( ) . T T Согласно теореме об экстремуме, max{min{ ( )}}З х = min{max{ ( )}}З х =З х ( ) . Z Z Z Z ⎛∞⎞ Остаётся посчитать З ⎜ ⎟ . Воспользуемся таблицами мат. стати- ⎝ 8 ⎠ ⎛∞⎞ π стики: З ⎜ ⎟= . ⎝ 8 ⎠ 2 Ответ: . 2. Доказать очевидное неравенство: Минус вторая производная функции f не равна минус первой производной от её минус первой производной. − f "( )x ≠−(− f '( ))'x . Вопросы к экзамену 1. Минус первая и минус вторая производные. Теорема Зильберта-Штольца. 2. Матьожидание и писдерсия. 3. Сходимость “так сказать”, “как надо” и “как не надо”, “да нет, наверное”, “отнюдь не сразу”, “из ряда вон”. 4. Очень сильная и очень слабая сходимость. 5. Одно-, дву- и треугольники, измеримые по Зильберту. 6. Шестиугольник ATBCEB. Теорема существования и единственности. 7. Определение кривой и очень кривой. 8. Понятие кусочно-гадкой функции. Её свойства. 9. Оператор «Ы». Операторы GSM и SDMA. 10. Условия Коши-Зильберта. 11. Пространство C a b c [ , , '], пространство C a b c [ , , ']. 12. Пространство LC a b c 2 [ , , ']. 13. Пространство Зильберта Zn . 14. Полином Зажигалкина. Теорема Зильберта-Зажигалкина. 15. Признак слаборавномерной полунепрерывности полинома Зажигалкина сверху. 16. Принцип Максима Понтрягина. Обобщение. 17. Определение функции Зильберта. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ МАКУЛАТУРЫ : 1. В методичке по теории функции Зильберта использован конспект студентов 4-го курса мех-мата (один по всем предметам), где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно. 2. Немного фантазии на лекции, и не такое можно придумать! Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, большой им привет! Тираж 76 экземпляров.