Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1.
.
Найдем производную, когда
.
Зададим приращение аргументу
, что даст
. Так как
, а
, то
Отсюда
и
,
то есть
. Если
, результат тот же.
2.
.
Зададим приращение аргументу
, что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда
и
, то есть
.
3.
.
Зададим приращение аргументу
, что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда
и
, то есть
.
4.
.
По определению
. Будем дифференцировать
как частное:
, то есть
.
5.
.
По определению
. Будем дифференцировать
как частное:
, то есть
.
6.
.
Зададим приращение аргументу
, что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда
и
,
то есть
. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7.
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим
:
. Значит,
.
8.
.
Зададим приращение аргументу
, что даст
. Так как
, а
, то
. Отсюда
и
, то есть
.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9.
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим
:
. Значит,
.
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если
, то
.
Теорема
. Если для некоторой функции
существует обратная ей
, которая в точке
имеет производную не равную нулю, то в точке
функция
имеет производную
равную
, то есть .
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента:
. Так как функция
имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть
, откуда
. Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10.
.
В данном случае обратной функцией будет
. Для нее
. Отсюда
,
то есть
.
11.
.
Так как
, то
.
.
В данном случае обратной функцией будет
. Для нее
.
Отсюда
, то есть
.
13.
.
Так как
, то
.
2. Производная сложной функции
Пусть дана функция
и при этом
. Тогда исходную функцию можно представить в виде
. Функции такого типа называются сложными. Например, .
В выражении
аргумент
называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема
. Пусть функция
имеет производную в точке
, а функция
имеет производную в соответствующей точке
. Тогда сложная функция
в точке
также будет иметь производную равную производной функции
по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по
, то есть .
Для доказательства дадим приращение аргументу
, то есть от
перейдем к
. Это вызовет приращение промежуточного аргумента
, который от
перейдет к
. Но это, в свою очередь, приведет к изменению
, который от
перейдет к
. Так как согласно условию теоремы функции
и
имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если
, то и
, что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.
Составим
. Отсюда,
и, следовательно,
.
Если функция
имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде
, где
, а
, или
, то, соответственно,
и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение
связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая
, получаем значение
, то есть пару чисел, являющихся координатами точки
. При изменении
меняется
, точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные
и
связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции:
где
. Для каждого значения
из данного промежутка будет своя пара чисел
и
, которой будет соответствовать точка
. Пробегая все значения,
заставляет меняться
и
, то есть точка
движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.
Если функция
взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти
. Подставляя
в
, получим
, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям
и
в зависимости от времени
, то есть в виде параметрически заданной функции
Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку
на окружности с радиусом
. Выражая
и
через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности
.
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса –
. Отсюда
. Возьмем две точки
и
на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу
(рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что
. Подставим это выражение в
:
. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом
. Зафиксируем точку O
ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t
, точка O
перейдет в точку C
(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса
без скольжения катится другая окружность радиуса
. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция
от
задана параметрически:
где
. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом
. Найдем .
Составим отношение
. Тогда
.
Следовательно,
. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
|