Непрерывная, но не дифференцируемая функции МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Физико–математический факультет по математическому анализу Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции» Выполнила: Пляшешник Ксения студентка 131 группы Руководитель: Делюкова Я.В. Уссурийск – 2011г. Содержание Введение.............................................................................................. 3 Историческая справка......................................................................... 4 Основные определения и теоремы..................................................... 5 Пример непрерывной функции без производной........................... 10 Решение упражнений........................................................................ 13 Заключение........................................................................................ 21 Список литературы........................................................................... 22 Введение посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи: 1. Изучить учебную литературу; 2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом; 3. Прорешать систему упражнений. Историческая справка Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden , 2 февраля 1903, Амстердам , Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих , Швейцария) — голландский математик. Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете , где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер. Основные работы в области алгебры , алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики , где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером ). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий. Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию . Основные определения и теоремы Предел функции в точке. Левые и правые пределы Определение (предел по Коши, на языке Число называется пределом функции в точке , если Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только Определение (по Гейне) Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу Определение Число называется левым пределом функции в точке , если Определение Число называется правым пределом функции в точке , если Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела) Для того чтобы в точке существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой. Понятие производной. Односторонние производные. Рассмотрим функцию заданную на множестве 1. В озьмем возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим . 2. Вычислим значение функции в точках . и 3. Найдем приращение функции в точке . 4. Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента . причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным. левой (левосторонней) производной функции в точке , а если существует конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке . Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные: ( ( . Рассмотрим функцию Найдем односторонние производные в точке Следовательно, ( =-1; ( =1 и ( ( , то есть в точке функция производной не имеет. Различные определения непрерывности функции в точке. Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке. Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что . Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к . Определение 4 (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Понятие дифференцируемой функции Определение 1 Функция , заданная на множестве ( называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A - const , независящая от , - бесконечно малая при Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке . Доказательство. Пусть задана функция Функция дифференцируема в точке , где При Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема. Обратная теорема неверна. в - не дифференцируема, хотя непрерывна. Классификация точек разрыва Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва. Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода. Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу. Определение Точка называется точкой устранимого разр ыва , если , но они не равны значению функции в точке . Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела. · – бесконечные; · – бесконечный или – бесконечный; · Признаки равномерной сходимости рядо в Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно. Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна. Пример непрерывной функции без производной Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом: , где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+ π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной. Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у= cosωχ заменены колеблющимися ломаными. Итак, обозначим через абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s -целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1. Положим, затем, для к=1,2,3,…: Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1. Определим теперь, для всех вещественных значений x , функцию f ( x ) равенством Так как, очевидно, 0≤ ( k =0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна. Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n =0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида: ≤ , где -целое. ( n =0,1,2,…). Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка. = ; Ясно, что с возрастанием n варианта . Составим теперь отношение приращений = Но при k > n , число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k ≤ n , то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем (k=0,1,…,n). Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n . Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет. Решение упражнений Упражнение 1 ([2], №909) Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование Решение На непрерывна как многочлен; На (0;1) непрерывна как многочлен; На (1;2) непрерывна как многочлен; На (2; непрерывна как элементарная функция. - точки подозрительные на разрыв Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке . Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке функция непрерывна в точке Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке . 1 способ. В точке не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна. 2 способ. Найдем односторонние пределы функции в точке x =0. Упражнение 2 ([1], №991) Показать, что функция имеет разрывную производную. Решение. Найдем производную функции. При При Предел не существует разрывна в точке Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная. Докажем, что функция в точке предела не имеет. Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что не сходится к Вывод: функция в точке предела не имеет. Упражнение 3 ([1], №995) Показать, что функция где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные Решение. Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Упражнение 4 ([1], №996) Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках: Решение. Рассмотрим функцию в точках Найдем односторонние пределы = = Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках Упражнение 5 ([4], №125) Показать, что функция не имеет производной в точке . Решение Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим Найдем значение функции в точках и Найдем приращение функции в точке Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента Перейдем к пределу Вывод: не имеет конечной производной в точке . Упражнение 6 ([4], №128) Показать, что функция не имеет производной в точке . Решение Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим Найдем значение функции в точках и Найдем приращение функции в точке Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента Перейдем к пределу Вывод: не имеет конечной производной в точке . Упражнение 7 ([4], №131) Исследовать функцию на непрерывность Решение. На На – точка подозрительная на разрыв Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв I рода. Заключение В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием « Непрерывная, но не дифференцируемая функции », цели данной работы достигнуты, задачи решены. Список литературы 1. Б. П. Демидович, / Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с. 2. Г. Н. Берман, / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с. 3. Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с. 4. И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с. 5. Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki. 6. Ресурс Интернет \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.