Многомерные и многосвязные системы Контрольная работа «Многомерные и многосвязные системы» Задание Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить: 1. Передаточную функцию ; 2. Частотную передаточную функцию ; 3. Годограф; 4. Импульсную характеристику ; 5. Переходную характеристику ; 6. ЛАЧХ ; 7. ФЧХ . Составить структурную схему системы. Дано: ; ; . Решение: 1. Передаточная функция Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами: , . Преобразуем по Лапласу матричные уравнения: ; (1) , (2) где ; ; – лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов. Преобразуем уравнение (1): Выносим за скобки: где – единичная матрица. Умножаем слева на обратную матрицу: Откуда получаем: . Подставляем в уравнение (2): Получаем: Выражение называют передаточной функцией системы. Находим её: Находим обратную матрицу: Подставляем: . 2. Частотная передаточная функция Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции : , получаем: . Выделим действительную и мнимую части: , для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель: ; ; ; . 3. Годограф Годограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности. Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции. Результат расчёта записываем в таблицу 1. Таблица 1. Расчёт годографа 0 2,8750000 0,0000000 10 -0,0512719 0,4570747 200 -0,00018 0,020008 1 2,7230769 0,9846154 20 -0,0163435 0,2074170 300 -0,000078 0,013336 2 1,9500000 1,9000000 30 -0,0075500 0,1355448 400 -0,000044 0,010001 3 0,8344828 1,9862069 40 -0,0043030 0,1009350 500 -0,000028 0,008001 4 0,2250000 1,5500000 50 -0,0027705 0,0804792 600 -0,000019 0,006667 5 0,0130624 1,1611030 60 -0,0019302 0,0669441 700 -0,000014 0,005715 6 -0,0500000 0,9000000 70 -0,0014209 0,0573176 800 -0,000019 0,005000 7 -0,0645030 0,7269777 80 -0,0010893 0,0501171 900 -0,000009 0,004445 8 -0,0634615 0,6076923 90 -0,0008614 0,0445267 1000 -0,000007 0,004000 9 -0,0578113 0,5216604 100 -0,0006982 0,0400600 2000 -0,000002 0,002000 Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1. Рис. 1. Годограф 4. Импульсная характеристика Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции: . Найдём полюса передаточной функции: Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся. Разложим передаточную функцию на простые дроби: . Используя табличные значения, находим: , . Таким образом, получаем: . Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2. Таблица 2. Импульсная характеристика 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 -4 11,28 62,69 100,8 -167,1 -1236 -2395 2097 23854 54578 -15944 Строим график импульсной характеристики – рис. 2. Рис. 2. Импульсная характеристика 5. Переходная характеристика Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р: . Найдём полюса передаточной функции: ; . Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся. Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби: . Приводим к общему знаменателю: . Приравниваем коэффициенты при равных степенях р: , , . Откуда находим: , , . Используя табличные значения, находим: , , . Таким образом, получаем: . Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3. Таблица 3. Переходная характеристика 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 0,654 17,59 62,52 69,32 -243 -1209 -1744 3830 24151 42653 Строим график переходной характеристики – рис. 3. Рис. 3. Переходная характеристика 6. ЛАЧХ Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции: . далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля: . Это и есть выражение для ЛАЧХ. Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ). Таблица 4. ЛАЧХ -1 0,1 9,17406 0,1 1,25893 9,20891 1,2 15,8489 -11,426 -0,9 0,12589 9,17482 0,2 1,58489 9,08243 1,3 19,9526 -13,614 -0,8 0,15849 9,17601 0,3 1,99526 8,70564 1,4 25,1189 -15,738 -0,7 0,19953 9,17788 0,4 2,51189 7,83066 1,5 31,6228 -17,818 -0,6 0,25119 9,18077 0,5 3,16228 6,23375 1,6 39,8107 -19,869 -0,5 0,31623 9,18519 0,6 3,98107 3,94960 1,7 50,1187 -21,902 -0,4 0,39811 9,19182 0,7 5,01187 1,26946 1,8 63,0957 -23,923 -0,3 0,50119 9,20135 0,8 6,30957 -1,5050 1,9 79,4328 -25,936 -0,2 0,63096 9,21400 0,9 7,94328 -4,1982 2 100 -27,944 -0,1 0,79433 9,22792 1 10 -6,7459 2,1 125,893 -29,950 0 1 9,23483 1,1 12,5893 -9,1470 2,2 158,489 -31,953 Строим график ЛАЧХ – рис. 4. Рис. 4. ЛАЧХ 7. ФЧХ ФЧХ – угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты: . Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад). Таблица 5. ФЧХ -1 0,1 0,03263 0,1 1,25893 0,44997 1,2 15,8489 1,66382 -0,9 0,12589 0,04110 0,2 1,58489 0,58831 1,3 19,9526 1,64958 -0,8 0,15849 0,05177 0,3 1,99526 0,77030 1,4 25,1189 1,63592 -0,7 0,19953 0,06524 0,4 2,51189 0,99225 1,5 31,6228 1,62384 -0,6 0,25119 0,08227 0,5 3,16228 1,22480 1,6 39,8107 1,61359 -0,5 0,31623 0,10383 0,6 3,98107 1,42316 1,7 50,1187 1,60513 -0,4 0,39811 0,13123 0,7 5,01187 1,56064 1,8 63,0957 1,59824 -0,3 0,50119 0,16622 0,8 6,30957 1,63913 1,9 79,4328 1,59268 -0,2 0,63096 0,21126 0,9 7,94328 1,67427 2 100 1,58822 -0,1 0,79433 0,26981 1 10 1,68250 2,1 125,893 1,58466 0 1 0,34696 1,1 12,5893 1,67633 2,2 158,489 1,58182 Строим график ФЧХ – рис. 5. Рис. 5. ФЧХ 8. Структурная схема системы Записываем матричные уравнения системы: ; . Подставляем исходные данные: ; . Производим умножение матриц: , , . Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6. Рис. 6. Структурная схема системы Часть 2: Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами {–1; –4; ± 5 j }. Построить наблюдатель полного порядка. Дано: , , . Решение: 1. Синтез замкнутой системы Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами: , . Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы: , где – входной командный сигнал, К – матрица коэффициентов обратной связи. После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7. Рис. 7. Структура исходной системы Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением: . Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами. Характеристический многочлен исходной системы равен: . Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена): . Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда: . Пусть матрица коэффициентов обратной связи , тогда характеристический полином замкнутой системы: . Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов и : , , , . Решая полученную систему уравнений, получаем: , , . Искомое управление принимает вид: . Структура синтезированной системы представлена на рис. 8. Она построена по уравнениям: , , , , . Рис. 8. Структура синтезированной системы 2. Построение наблюдателя полного порядка Система называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех оценка с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния . Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления и найдём модель её изменения: . Затем потребуем, чтобы при всех и . Это равенство возможно при: , . Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида: . На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя. Рис. 9. Структура системы с наблюдателем Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки к вектору состояния при любых начальных состояниях наблюдателя и системы. Пусть ошибка восстановления , тогда . Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости. Пусть матрица , тогда матрица . Полюса наблюдателя определяются уравнением: . Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны: {– 4; ± 5 j }, то расположим полюса наблюдателя в точках: . Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид: , что будет иметь место тогда, когда: , , . Решая полученную систему уравнений, получаем: ; ; . Находим матрицу: Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид: , , , . Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10. Она построена по уравнениям: , , , , , , .