Учебная книга: Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных Министерство Образования и Науки Украины Харьковский национальный университет имени Н.Н. Зильберта А.А. Тензор, В.В. Невязкин Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных ТОМ 2 Харьков 2007 XFVBGD4567 ВДОПШ26986 Издание второе Предназначено для студентов старших курсов © 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта ОГЛАВЛЕНИЕ : Дифференциальная геометрия 4 Теория вероятности 5 Теоретическая механика 5 Функциональный анализ 6 Уравнения математической физики 7 Численные методы 8 Задачи 9 Список использованной литературы 11 Методы оптимизации и теория управления 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Определение . Кривая называется кривой , если она кривая. Определение . Кривая называется очень кривой , если она очень кривая. Теорема Рассмотрим кривую кривую. ∞ Она измерима по Зильберту ⇔ её радиус кривизны → . 8 Следствие . Прямая измерима по Зильберту. Её мера равна её длине. Доказательство (теоремы) . Достаточность . Рассмотрим такую кривую γ , радиус кривизны которой R . Значит, кривизна γ : 1 8 1 k = = = ⋅ 8 = 0 8 ⋅ = 0. R ∞ ∞ Следовательно, γ – прямая. Необходимость . Поскольку кривизна прямой равна k =0, мы можем записать: 1 ∞ k = 0 = 0·8 ⇒ R = = . k 8 Теорема доказана условно. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В теории функции Зильберта существует сходимость “да нет, наверное”, а именно: Определение . Последовательность { } сходится “да нет, наверное ” к числу ξ ∈ Z (пространство Зильберта): ξ k ⎯⎯→ НЕТ ⎯ ! ξ ⇔ когда она не сходится к этому числу. Определение . Писдерсией π D x [ ] называется величина, матьожидание которой равно . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В случае, когда все связи идеальные и стационарные, ∂ q k верно, что = 0, что значительно упрощает все формулы и ∂ q j теоремы из этого курса! Окончательный результат: Если в формуле вместо y подставить y , то формула останется верной для ∀ y . Этот факт даётся без доказательства. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Определение . Если последовательность имеет предел, который её удовлетворяет, то последовательность остаётся довольной . Теорема . Если последовательность имеет предел, то и предел её тоже имеет. (Доказательство было приведено в курсе дифференциальных уравнений) – А что говорит Хвилиппов? – Хвилиппов молчит! Аксиома . Если ты разговаривал с Хвилипповым, то ты – Литрович, а если Хвилиппов тебе отвечал, – это алкоголизм! Теорема . Если в обеих частях неравенства стоит одно и то же, то это равенство! Доказательство . Необходимость . Обозначим через α что-то, что стоит в обеих частях неравенства: α > α . Положим на α и заменим его на неотрицательную константу Ц: Ц>Ц ≥ 0. Константы сокращаются, и мы получаем верное равенство: 0 > 0 ⇒ 0 = 0 . Что и требовалось доказать. Достаточность . Доказать самостоятельно или при помощи водки . почувствуй вкус диffуров. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ и ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ Минус первая и минус вторая производные Определение . Минус первой производной функции f называется такая величина: − f ' . Определение . Минус вторая производная функции f : − f ′′ . Рассмотрим функционал ы ЖЫ ( y ) = ∫ ( f '( y y y , ', *) − f y y y ( , ', *) ) dx → inf (*) ж Замечание. Из курса русского языка известно: «ЖИ–ШИ пишется с И» , но в данном случае «Ы» – это оператор! Оператор «Ы» Определение . Оператором «Ы» называется дифференциальный оператор, который функции Ж ставит в соответствие интеграл (*). УРАВНЕНИЯ МАТ. ФИЗИКИ Задача. Найти функцию Грея для системы: ⎧ ∞ ⎪Δ u = 8 , x 5 = 0, ⎪ ⎨ 0, x 6 = 0, ⎪ u = З ( x y z , , ), x i ≥ 0. ⎪ ⎩ Подсказка. Если x y , ∈ M решать эту задачу, нужно извлечь корешок из u , x , y и z . З ( x,y,z ) – функция Зильберта. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Теорема Если вам лень делать оценку по Рунге, позовите Рунге, и он сам её сделает! Проверить самостоятельно. Определение . Обратным элементом к бесконечности ∞ явля- ∞ ется конечность , а обратным к является . 8 Точные значения этих величин даёт метод подгонки под ответ с двойным пересчётом. Лабораторная работа №13 Вычисление сингулярных интегралов методом подгонки под ответ Вычислить сингулярный интеграл b f x ( ) b − a I z ( ) = ∫ a x − z dx ; z j = + a jh 0 ; j = 1, n 0 − 1; h 0 = n 0 . с заданной точностью ε = 10 − 24 на отрезке [1;1.05] с помощью метода подгонки под ответ с двойным пересчётом. Для этого потребуется методичка с ответами и дискета с готовой программой. На печать вывести N , π , количество итераций и невязку в виде таблицы: N π количество итераций k невязка R ЗАДАЧИ 1. Вычислить ё. d e 2 Решение: ё = 2 = 0, т.к. e ≈ 2,7 = const и от t не зависит, а dt производная от константы равна 0. Ответ: ё =0. dx 2. Вычислить интеграл ∫ dx . dx 1 dx 1 Решение: ∫ dx = d ∫ x = d ln | x | + C . 3. Построить треугольник, у которого все углы равны 0 0 . Решение: Рис. 1. Треугольник с тремя нулевыми углами В пространстве Лобачевского (в верхней полуплоскости) такой треугольник имеет 3 угла по 0 0 . 4. Вопрос: метод Зильберта решения СЛАУ точный или приближённый? (Ответ – невязка мнимая, так что этот метод даёт результат точнее, чем есть искомая величина) 5. Найти минус третью производную функции f x ( ) = x 3 . Решение: Минус третья производная: − f ′′′ ( ) x = − ( x 3 ) ′′′ = − 6 . Ответ: –6. 6*. Построить конформное отображение из области «ВАСЯ» на правую полуплоскость (левую полу-ёлку): СПИС ОК ИСПОЛЬ ЗОВА ННОЙ ЛИТЕ РА ТУРЫ : 1. Хвилиппов А. У. «Сборник задач по диффурам» 2. конспекты студентов мех-мата по: - дифф. геометрии, - матанализу, - диффурам, - теормеху, - функану, - теорверу, - комплану, - методам оптимизации, - численным методам. Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт. Тираж 40 экземпляров. Отпечатано на ксероксе в коридоре на 6-м этаже ХНУ им. В. Н. Каразина. Цена ксерокопии 20 коп.