Системы счисления 2 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Система счисления - это способ записи чисел. 64, \ / Системы счисления Позиционные- - Позиционные системы счисления - системы записи чисел, в которых значение каждой цифры числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр. Примеры : двоичная (101101) , десятичная (123, 15). Непозиционные - каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа Пример : римская( XXI, IV) Десятичная - Система счисления с основанием 10. - Возникла примерно в V веке нашей эры в Индии. Двоичная - Позиционная система счисления с основанием два. Перевод чисел из одной СС в другую . Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с любым основанием необходимо: - 1 способ Последовательное деление числа и последующих целых частных на n - новое основание СС. Это число разделить на n , полученное частное вновь делят на n и так до тех пор пока последнее частное не окажется меньше n . В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего. Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с любым основанием необходимо: - 2 способ Метод разностей. Берем степень числа 2 ближайшую к исходному числу. Представляем это число в виде суммы степени 2 и остатка. Далее остаток представляем в виде ближайшей степени 2 и остатка и так до тех пор пока находится степень 2. Далее записываем все степени 2 в порядке убывания, если нет каких, то ставим 0. Записываем число в развернутой форме. Последовательно записанные слева направо коэффициенты перед степенями –0 и 1 – это и есть ответ Для перевода правильной дроби из СС с основанием 10 в СС с основанием n необходимо: - эту дробь умножить на n , затем дробную часть, полученного произведения вновь умножить на n и так до тех пор пока в дробной части не окажутся все нули, либо не будет достигнута заданная степень точности. Целые части, полученных произведений взятые по схеме сверху вниз, и дадут результат перевода. Для перевода смешанной дроби из одной СС в другую необходимо: - представить эту дробь в виде суммы целого числа и десятичной дроби, а затем произвести перевод каждой части отдельно по соответствующим правилам. Перевести 25,25 10 в двоичную СС Рассмотрим пример: 25 10 =11001 2 Затем- перевод дробной части 0,25 10 =0,01 2 Соединили целую и дробную части и получили: 25,25=11001,01 2 Перевод чисел из СС с основанием q , кратным 2 (т.е. 2 n ) в двоичную СС (из 8-й в 2-ю, из 16 в 2-ю, из 2-й в 8-ю и т.д.) и обратно - Для того, чтобы произвольное число в СС с основанием q= 2 n , перевести в 2-ую СС, нужно каждую цифру исходного числа заменить ее n -значным эквивалентом в 2-й системе счисления. - Пример1. 15 FC 16 =Х 2 - Исходная СС – это 16, т.е. 2 4 , значит n=4 , т.е. двухзначный эквивалент содержит четыре 0 и 1 - 1- > 0001 - 5 – > 0101 - F =16 – > 1111 - С=12 – > 1100 - ОТВЕТ 0001 0101 1111 1100 Записать в тетради Двоично- шестнадцатеричная таблица Перевод чисел из СС с основанием q , кратной 2 (т.е. 2 n ) в двоичную СС и обратно (из 8-й в 2-ю, из 16 в 2-ю, из 2-й в 8-ю и т.д.) Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в СС с основанием q= 2 n , нужно: - 2-е число разбить слева и справа от запятой (разделитель дробной части) на группы по n цифр - Если в последних правой и левой группах окажется меньше чем n цифр, то дополнить нулями слева и справа - Рассмотреть каждую группу как n- разрядное двоичное число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления Пример2. 1010111111100 2 = Х 16 - СС, в которую переводим – это 16, т.е. 2 4 , значит n=4 , т.е. двухзначный эквивалент содержит в каждой группе по четыре 0 и 1 - Разбиваем на группы по 4 справа налево и слева направо приписываем три 0 и получаем 0001 0101 1111 1100 - 1 5 F C Пример 3 111100101 , 0111 2 =Х 8 - Ответ 745,34 Пример 4 Перевести 8-е и 16-е числа в 2-ю СС 1)266 8 2) 1270 8 3) 10,23 8 4) 266 16 5) 2А19 16 6) 10,231 6 Задания для самост. решения - 1. Переведите из 10-й в 2-ю - 1)513 2)600 3)602 4) 1000 - 5)2304 6)501 7) 7000 8)8192 - 2. Переведите 10-е дроби в 2-ю СС (ответ записать с 6-ю двоичными знаками) - 1) 0,4622 2) 0,5198 3)0,5803 4) 0,6124 - 5) 0,7351 6) 0,7982 7) 0,8544 8) 0,9321 - 3. Переведите смешанные десятичные дроби в 2-ю СС - 1)40,5 2)31,75 3) 124,25 - 4. Переведите целые числа из 10-й в 8-ую - 1) 8700 2) 8888 3) 8900 4) 9300 - 5. Переведите целые числа из 10-й в 16-ую - 1) 266 2) 1023 3) 1280 4) 2041 - 6*. Переведите числа из 10-й в 8-ую 1) 0,43 2) 37,41 3) 2936 - 7. Переведите двоичные числа в 8-ую СС - 1) 1010001001011 2) 1011001101111 3) 110001000100 Задания из ЕГЭ Задания из ЕГЭ Задания из ЕГЭ Ответы 12. Сколько единиц в двоичной записи числа 195 1)5 2)2 3)3 4)4 13. Сколько единиц в двоичной записи числа 197? 1)5 2)'2 3)3 4)4 14. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно: 1)5 2)6 3)7 4)4 15. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно: 1)5 2)6 3)7 4)4 16. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно: 1)1 2)2 3)3 4)0 17. Вычислите сумму чисел х и у, при х =В416 , у =468 . Результат представьте в двоичной системе счисления. 1)110110102 2)100000102 3)11100102 4)10111010г 18. Значение выражения 1016+ 108 - 102 в двоичной системе счисления равно: 1) 1010 2) 11010 3) 100000 4) 110000 19. Вычислите сумму чисел х и у, при х =А716, у =568 Результат представьте в двоичной системе счисления. 1)110101012 2)110010012 3)10001111, 4)10000101о 20. Вычислите сумму чисел х и у, при х = 1016, у = 728. Результат представьте в двоичной системе счисления. 1)10001Ш2 2)11001012 3)1010112 4)10101112 21. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4. 6 , 9 , 18 22. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3. 7 , 21