О подвижном пространстве Океанов Е.Н. В неподвижном геометрическом трехмерном пространстве X Y Z , , (с прямоугольными координатами) радиус-вектор: r ( ) t = i x t ( ) + j y t ( ) + k z t ( ) (1) определяет кривую в пространстве (годограф), по которой перемещается эта точка, являясь началом координат подвижного трехмерного пространства X Y Z m , m , m (с иными прямоугольными координатами). Это подвижное пространство определено, как известно, сопровождающим трехгранником с базисом τ ,n,b – ортами касательной, нормали и бинормали к указанному годографу, соответственно. В этом подвижном пространстве начало координат неподвижного пространства определяется радиусвектором: r m =τ x m + n y m + b z m (2) Представляется очевидным равенство: r =− r m , (3) поскольку левая часть этого равенства выражает расстояние от начала неподвижного пространства до начала подвижного пространства, а правая часть, наоборот, расстояние от начала подвижного пространства до начала неподвижного пространства. Но это – одно и то же расстояние, и лишь в векторной интерпретации оно характеризуется разными векторами с одинаковым модулем и противоположными направлениями. Поэтому равенство (3) можно дополнить равенством: r = r m (4) Орты подвижного пространства можно выразить через орты неподвижного пространства: τ= i τ τ τ x + j y + k z , n = i n x + j n y + k n z , b = i b x + j b y + k b z (5) и тогда равенство (3) преобразуется к виду: i ( x + τ x m x + n y x m + b z x m ) + + j ( y τ y m x + n y y m + b z y m ) + k ( z + τ z m x + n y z m + b z z m ) = 0, откуда следуют очевидные равенства: τ z m x + n y z m + b z z m = − x τ y m x + n y y m + b z y m = − y , (6) τ z m x + n y z m + b z z m = − z τ x n x Δ = τ y n y τ z n z и легко приводится к скалярному равенству: b x b y (7) b z Эти равенства естественно рассматривать, как систему трех уравнений с тремя неизвестными x y z m , m , m , поскольку задание радиус-вектора (1) вполне определяет значение остальных величин в этой системе. Ее определитель равен: Δ = τ x ( n b y z − n b z y ) + τ y ( n b z x − n b x z ) + τ z ( n b x y − n b y x ) , (8) которое в векторной форме принимает вид: Δ = τ⋅ ( n b × ) (9) Но, в силу очевидного равенства: τ = n b × , определитель (7) принимает значение: Δ =τ = 2 1 (10) − x n x Δ x = − y n y − z n z b x b y = − r n b ⋅ ( × ) (11) b z Первый частный определитель Δ x системы равен: и подвижная координата x m принимает значение: Δ x ( × ) (12) x m = = − r n b ⋅ Δ Второй частный определитель Δ y системы равен: τ x − x b x Δ y = τ y − y b y = r ⋅ τ× ( b ) (13) τ z − z b z Соответственно, вторая подвижная координата y m принимает значение: τ x n x Δ z = τ y n y τ z n z − x − y = − r ⋅ ( τ× n ) (15) − z y m (14) Наконец, третий частный определитель Δ z равен: и третья подвижная координата z m принимает значение: z m (16) Теперь необходимо принять во внимание равенства: n b × = τ , τ × b = − n , τ × n = b , (17) в соответствии с которыми подвижные координаты принимают вид скалярных произведений: x m = − r ⋅τ , y m = − r n ⋅ , z m = − r b ⋅ (18) Подстановка этих значений в уравнение (2) позволяет выразить радиус-вектор подвижного пространства через радиус-вектор неподвижного пространства: r m = − r ⋅τ 2 − r n r b ⋅ 2 − ⋅ 2 = − r ( τ 2 + n b 2 + 2 ) = − r ⋅ 1 = − r , подтверждая равенство (3), если, конечно, учитывать работу [1] о сущности скаляра. Более того, полученный результат лишний раз подтверждает корректность, но – главное – актуальность этой работы. Потому, что теперь без всяких надуманных « мысленных экспериментов » можно строго математически сравнивать скорости в неподвижной и подвижной системах отсчета. Действительно, скорость v радиусвектора (1) в неподвижной системе отсчета равна производной этого радиус-вектора по времени: d r v = (19) dt В свою очередь, скорость v m радиус-вектора (2) равна его производной по времени: d r m v m = (20) dt Но из равенства (3) следует очевидное равенство: v = − v m , (21) в котором нет и не может быть даже намека на преобразования Лоренца. Следует отметить, что на подвижную и неподвижную системы отсчета никакие ограничения не накладывались в ожидании, что исследование выведет на особенности, позволяющие отличать инерциальную систему от каких-либо иных. Не вывело. Здесь полезно обратить внимание на принципиальное отличие физической сущности скорости от ее математической сущности. Физическая сущность скорости (например, некоторого тела) состоит в том, что скорость тела есть мера того, как быстро тело меняет свое положение относительно выбранного репера (ориентира). На этом основании физическое понятие скорости тела можно полагать относительным . Математическая сущность скорости состоит в том, что скорость есть производная вектора по времени, и, коль скоро вектор всегда является абсолютной величиной, математическое понятие скорости является абсолютным . Обе сущности оказываются субъективным отображением объективной реальности, и, несмотря на различие, не являются взаимоисключающими. Поэтому они могут совпадать, или не совпадать в оценке объективной реальности. На этом основании можно говорить о наличии своеобразной интерференции понятий в сознании исследователя. Когда физическая сущность совпадает с математической сущностью, вероятность заблуждений в изучении объективной реальности становится меньше. В противном случае возникают различные паразитные учения (например, о теплороде 200 лет назад, или о так называемых торсионных полях нынче), вплоть до «философского» отрицания генетики и кибернетики. Так вот, если скорость (тела) понимать, как непосредственную характеристику движущегося тела, то могут возникать проблемы интерференционного (в данном случае - терминологического) характера, приводящие к подмене понятий и, как следствие, к подмене решаемой задачи. Здесь скорость всегда понимается в ее строгом математическом смысле – производная вектора по времени . Это единственный способ максимально уберечься от заблуждений. Тогда физическую « скорость тела » следует понимать, как упрощение длинного определения: – скорость тела есть производная по времени радиус-вектора из начала системы отсчета до центра масс этого тела и является не характеристикой тела, а только и исключительно характеристикой этого радиус-вектора . Но это упрощение повлекло за собой подмену характеристики математического объекта (вектора) якобы характеристикой физического объекта (тела), а это уже – произвол, чреватый непредсказуемыми последствиями. Особенно с участием « мысленных экспериментов », которые вполне могут оказаться совсем немыслимыми, хотя и красивыми. Орты i,j,k в качестве базиса неподвижного пространства являются векторами направлений и остаются неизменными константами в пределах своего пространства. Поэтому выражение скорости (19) в развернутом виде: v ( ) t = d r = i dx + j dy + k dz (22) dt dt dt dt не требует дифференцирования этих ортов. Орты τ ,n,b в качестве базиса подвижного пространства в пределах своего подвижного пространства также являются константами, но в неподвижном пространстве они оказываются переменными векторами с неизменным единичным модулем. Поэтому выражение скорости (20) в развернутом виде: d r m d d d v m = = ( τ x m ) + ( n y m ) + ( b z m ) (23) dt dt dt dt уже требует дифференцировать орты подвижного пространства по времени: d τ dx m d n dy m d b dz m v m = x m + τ + y m + n + z m + b (24) dt dt dt dt dt dt в пределах неподвижного пространства, поскольку подвижное пространство движется в неподвижном пространстве. То есть, нет нужды « синхронизировать » какие-либо « часы » потому, что время t оказывается единственным общим параметром неподвижного и подвижного пространств, который и обеспечивает сопоставимость этих пространств. С учетом известных формул Серре-Френе представляются очевидными равенства: d τ = n K dl , d n = − ( τ K + b T ) dl , d b = − b T dl (25) dt dt dt dt dt dt На основании равенств (18) в такой же мере очевидными представляются равенства: dx m d r d τ dy m d r d n dz m d r d b = −τ − r , = − n − r , = − b − r (26) dt dt dt dt dt dt dt dt dt Подстановка равенств (25) и (26) в равенство (24) приводит к уравнению: 2 d τ dl 2 d n 2 dl 2 d b v m = −τ v − τ⋅ r − b n r ⋅ ⋅ T − n v n r − ⋅ + b r ⋅ T − b v b r − ⋅ , dt dt dt dt dt которое далее приводится к виду: 2 2 2 d τ d n d n d b v m = − v ( τ + n b + ) − τ⋅ r − n r ⋅ − n r ⋅ − b r ⋅ dt dt dt dt Остается в полученное выражение подставить равенства (25): 2 2 2 dl dl dl 2 dl v m = − v ( τ + n b + ) − τ⋅ ⋅ n r K + τ⋅ ⋅ n r K − n b r ⋅ ⋅ T + b r ⋅ T = dt dt dt dt (27) 2 2 2 dl 2 2 2 2 = − v ( τ + n b + ) + r T ( b n b − ⋅ ) = − v ( τ + n b + ) = − v dt Здесь опять учтена работа[1], а также очевидное равенство: b 2 = n b ⋅ = 1 Полученное равенство (27), естественно, опять довольно сложным путем подтверждает установленное ранее простое равенство (21). Эти неочевидные доказательства очевидных положений (3) и (21) выполнены под влиянием сомнений в знаменитой теории относительности, основанной на заблуждении о различных часах . Все дело в том, что физическая сущность времени не совпадает с его математической сущностью . Объективно время не существует. Объективно существует только последовательность неких физических состояний . Чтобы осмысленно ориентироваться в этой последовательности, Человек Разумный придумал способ неким счетным образом упорядочить в своем сознании эту последовательность, для чего придумал субъективную характеристику счета – время. Математика (в качестве субъективного средства отображения объективной реальности) формализовала эту характеристику в статусе универсального параметра t для всех физических явлений в данной среде обитания . Таким образом, математическая сущность времени есть единая параметризация любых процессов . А физической сущности времени не существует. Но существует физическая сущность самих процессов , которой и адекватно понятие времени в части последовательности состояний в этих процессах. Необратимость времени является следствием необратимости последовательности состояний, а не причиной их. Поэтому у любых наблюдателей во Вселенной часы, если они исправны, всегда синхронизированы (точнее - когерентны ). Когда « мысленный эксперимент» предполагает разные исправные часы у различных наблюдателей, он фактически по умолчанию помещает этих наблюдателей в различные несопоставимые Вселенные, из которых реально существует только одна. Так и превращается « мысленный эксперимент» в абсолютно немыслимый. Пусть теперь в рассмотренном неподвижном пространстве, кроме первой подвижной точки, начинает двигаться вторая материальная точка, определяемая радиус-вектором r 1 : r 1 ( ) t = i x t 1 ( ) + j y t 1 ( ) + k z t 1 ( ) , (28) скорость v 1 которого равна его производной по времени: d r 1 v 1 = (29) dt Это означает, что вдоль годографа этого второго радиус-вектора перемещается второе трехмерное подвижное пространство X 1 m , Y 1 m , Z 1 m , в котором начало отсчета неподвижного пространства определено радиус-вектором r 1 m = τ 1 x m + n 1 1 y m + b 1 1 z m (30) Скорость v 1 m этого радиус-вектора равна его производной по времени: d r 1 m v 1 m = (31) dt и теперь уже можно считать строго доказанным равенство: v 1 m = − v 1 (32) Поскольку в геометрическом неподвижном пространстве одновременно движутся два различных геометрических подвижных пространства, например, A и B (соответственно, для первого и второго), постольку уже можно говорить о скорости v A B / первого подвижного пространства относительно второго подвижного пространства. Очевидно, что эта скорость определяется разностью: d v A B / = v m − v 1 m = − ( v ) ( − − v 1 ) = ( r r 1 − ) (33) dt Не менее очевидно, что скорость v B A / второго пространства относительно первого равна: d v B A / = − v A B / = ( r r − 1 ) (34) dt Существенно, что подвижные пространства порождены соответствующими математическими точками, а это значит, что выражения (33) и (34) характеризуют одну и ту же абсолютную скорость одной математической точки относительно другой. Заметив, что разность R : R = r − r 1 (35) представляет собой расстояние между этими точками, можно сделать общее утверждение (достаточно очевидное, кстати): – абсолютная скорость одного объекта относительно другого всегда равна производной расстояния между этими объектами по времени. Литература . 1. Океанов Е.Н.