Ðåøåíèÿ ñ ïîäðîáíûì îïèñàíèåì Âåêòîðû ˙ 1. ˜ ß Œ ß a = 3i + j Ł b = 2i + 3j . (a) ˇ æ Ł Œ Ł Ł Ø ºŁ ß ª º Ł , Ł a . (b) ˇ æ Ł Œ a/ 2 − b . — ł Ł : (a) ¯æºŁ a - Œ , |a | - ºŁ Œ a , ºŁ Œ a/ |a | Ł Ł , Ł æ√ º √æ a . ˜ºŁ Œ Œ Ł æ ß Œ Œ Ł : |a | = 32 + 12 = 10, ŁæŒ ßØ Œ (b) ˙ 2. ˜ ß Œ . ˝ Ø æ Ł t , Ł Œ ßı (a) ´ Œ a Ł b Œ ººŁ ß. (b) ´ Œ a Ł c ŁŒ º ß. (c) ´ Œ a , b Ł c Œ º ß. (d) ´ Œ a , b Ł c Æ ßØ Æ Łæ. — ł Ł : (a) ´ Œ a Ł b Œ ººŁ ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı Œ Ł ß Ł º ß. ˇ æŒ º Œ ł Ł æº Łı Œ Ł -4, ŒŁ º Æß Ł ł Ł ßı Ł ßı Œ Ł : 8/t = −4 ⇐⇒ t = −2, (−2 − 10)/ 3 = −4. (b) ´ Œ a Ł c ŁŒ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª Łı æŒ º Ł 0. Œ º Ł Ł ( æ ßı Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł ): (a,b ) = −8t − 3 + 2 = −8t − 1 = 0 ⇐⇒ t = −1/ 8. (c) ´ Œ a , b Ł c Œ º ß ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß, — æ º ß º Ł t = 4 ŁºŁ t = −2. (d) ´ Œ a , b Ł c Æ ßØ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Œ Œ Łı æº Ł º Ł º . ºŁ º æ Ł ß ø Œ Ł (t −4)(t +2). ß Ł º Ł º Ł t < −2 ŁºŁ t > 4. ˙ 3. ˜ºŁ Œ a , |a | = 2. ˜ºŁ Œ b , |b | = 3. ª º Œ Ł a Ł b , ϕ = 60◦ . ˝ Ø Ł (a) ˜ºŁ ß Ł ª º Ø ºº º ª , æ ª Œ ı a Ł b . (b) ˇº ø ºº º ª , æ ª Œ ı 2a − b Ł a + 3b . — ł Ł : (a) ˜Ł ª ºŁ ºº º ª , æ ª Œ ı a Ł b , Œ Ł Łæ Œ Œ a − b Ł a + b . ˜ºŁ Œ æ Ł Œ Œ Œ ßØ Œ Ł ª æŒ º ª Ł Ł æ Æ . Œ º Ł Ł ı Œ æ Ł Œ Œ Ł Ł Łı ºŁ Œ æŁ æ ªº Ł Ł, æŒ º Ł Ł Ł ª º Ø ºº º ª æ Æ æ Ł ŒŁ Æ : , √ √ ºŁ ß Ł ª º Ø ß 7 Ł 19. (b) ˇº ø ºº º ª , ª 2 Œ , ºŁ Œ ª Ł Ł Łı ı Œ . ´ Œ Ł Ł ı Œ º Ł Ł Łı ºŁ æŁ æ ªº Ł Ł, º Ł ŁŒ º Ł Æ Ł Ł Æ æ Ł Ł ØŒ Œ , : ˙ 4. ˜ ß ŒŁ A (3, 5, 4), B (−1, −3, 5), C (−5, −3, 0) Ł O (0, 0, 0). (a) ˝ Ø Ł Œ æŁ æ ª º Œ Ł AB Ł AC . (b) ˝ Ø Ł º ø 4ABC . (c) ˝ Ø Ł Æœ… ª º Ø Ł Ł ß OABC . (d) ˝ Ø Ł ºŁ ßæ ß Ł Ł ß, ø Ø Ł łŁ ß O . — ł (a) Ł : −5 3 −8 AC~ = C~ − A~ = −3 − 5 = −8 0 4 −4 −1 3 −4 AB~ = B~ − A~ = −3 − 5 = −8 5 4 1 ª Ł æŒ Ø ŒŁ Ł æŒ º Ł Ł ı Œ Ł Ł Łı ºŁ Œ æŁ æ ªº Œ Ł. ˜ºŁ a Œ . ˜ºŁ a Œ Œ º ß Ł Ł ı Œ º æ Łæº , æ ßı Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł . Œ º Ł Ł Œ 3 (b) ´ Œ oe Ł Ł ı Œ º æ Œ o , ºŁ Œ ª º ø Ł ºº º ª , ª ß . Œ Œ Œ 2 Œ æ ºº º ª Ł ª º ø Æ 2 ł , Œ æ ª º ŁŒ, º Ł ºŁ ß Œ ª Ł Ł æ ª º ŁŒ . ˇ æ Ł Œ Ł Ł æ : −5 3 −8 AC~ = C~ − A~ = −3 − 5 = −8 0 4 −4 −1 3 −4 AB~ = B~ − A~ = −3 − 5 = −8 5 4 1 ´ß ŁæºŁ Œ Ł Ł …ı æ æ , æ Ł æ ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß ß, Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ æ æ . ˜ºŁ a Œ . ˛ æ º ø ª º ŁŒ (c) ł ß Ł Ł …ı Œ º æ Łæº , º Æœ… ºº º Ł , ª Ł Ł Œ . ˙ Œ Łæº "+", æºŁ Ł Ł Œ Æ ØŒ Œ , Ł " ", æºŁ º . ˛Æœ… ºº º Ł Ł æ Ł Œ Œ º ø æ Ł , ºŁ ßæ ß. ˝ Ł Œ æ ºº º Ł ª º Ł Ł . Ł Ł ß Æœ… æ æ º 1/3 º ø Ł æ Ł Ł Ł ß, Ø ßæ Ł Ł ß. ´ Ø æŁ ŁŁ ºŁ ß ßæ Ł Ł ß Ł ºº º Ł ß, æ Ł Ł Ł ß º ø Ł 2 ł ( ª º ŁŒ º Ł ºº º ª ). ˇ Æœ… Ł Ł ß Æ 6 ł Æœ… æ æ ø ª ºº º Ł . ˇ º ı Ł Æœ… Ł Ł ß æ ºŁ 6 º æ ł ª Ł Ł …ı Œ Ł Ø … łŁ ß æ º ß . −5 0 −5 OC~ = C~ − O~ = −3 − 0 = −3 0 0 0 −1 0 −1 OB~ = B~ − O~ = −3 − 0 = −3 5 0 5 3 0 3 OA~ = A~ − O~ = 5 − 0 = 5 4 0 4 ´ß ŁæºŁ æ ł Ł Ł …ı Œ , æ Ł ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß ª Œ , Ø ª , Ø - Œ Ł ß ª Œ . ˇ æ Ł ºŁ º æ æ ø Ø Ł ß: ˇ æ ł Ł Ł (OA,~ OB,~ OC~ ) = −128. ˛ æ Æœ… Ł Ł ß 64/ 3. (d) Æß Ø Ł ºŁ ßæ ß Ł Ł , ø Ø Ł łŁ ß O æ æ Œ Ł Œ Œ , ŁŒ º ßØ æ Ł , Œ æŒ æ ßæ , ŁºŁ Œ ºŁ Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø æ Ł . æ Ł æ Œ. — ææ Ł Œ Ł Æß º Ł Œ ºŁ ( ŁŒ º ßØ) Œ º æŒ æ Ł, ı ø Ø Ł ŒŁ, Œ , º øŁ Ø º æŒ æ Ł Ł Łı Œ Ł Ł . ´ Œ ß Ł Ł ı Œ º æ ŁØ Œ , º ßØ ŁŒ º Æ Ł Œ Ł Æ øŁØ æ Ł Ł ØŒ Œ . ´ß ŁæºŁ Œ Ł Ł …ı æ æ , æ Ł æ ºŁ º Ł ß, Œ Ø Ø æ Œ æ Œ Ł ß ß, Ø Ł Ø - Œ Ł ß ª Ł ª Œ æ æ . ˛ Ł ª Ł æŒŁı Ł ŁØ æŒ º ª Ł Ł ı Œ Œº æ , ª º ºŁ ª Œ , Ø ºŁ Œ ŁŁ ª ª Œ . ˛ æ º , Æß ºŁ Œ ŁŁ, º æŒ º ª Ł Ł ºŁ ºŁ Œ , Œ ßØ Łæı Ł Œ Ł . Œ º ß Ł Ł ı Œ º æ Łæº , æ ßı Ł ŁØ Ł … ßı Œ Ł . Œ º Ł Ł Œ 5 ˜ºŁ a Œ . ˜ºŁ Œ ŁŁ Œ OA ~ Œ AB ~ × AC ~ : . ˙ 5. ˜ ß Œ . (a) ˜ Œ , Œ ß a , b Ł c Æ Æ Łæ. (b) ˝ Ø Ł Œ Ł ß Œ d Æ Łæ . — ł Ł : (a) ØŒ Œ æ æ IR3 Æ Æ Łæ ª Ł º Œ ª , Œ ª ºŁ º Ł ß, æ æ º Ø Ł Œ Ł Łı Œ , º . (b) Æß Ø Ł Œ Ł ß Œ d Æ Łæ , Æı Ł Ø Ł ŒŁ ø æ ß Łæº x 1 , x 2 Ł x 3 , ax 1 + bx 2 + cx 3 = d , Ł ª , łŁ æŁæ ŁØ   1 − x 2 + 7x 3 = 6 x 2x 1 + 3x 2 − 3x 3 = 10 .  3x 1 − 2x 2 + 5x 3 = 17 — æłŁ Ø Ł Ø Ø æŁæ ß ŁØ º æ . ˝ Ł Ł : º ı Ł ł Ł æŁæ ß ºŁ Ø ßı ŁØ æ Ø æłŁ Ø Ł Ø æº æº ª º ß Æ Ł æ Œ Ł. ˇ Ł æ ł ŁØ æŁæ ŁØ, æ æ øŁı Ł Ł Ł º ª Æ Ł Ł æº - æ . º ß Æ Ł æ Œ Ł Ł ß Æß …ı Ł : (a) ˛Æ æ Ł æ Ł i Ł j (æ Œ ø… Ri ↔ Rj ), (b) Ł æ i º Łæº r (æ Œ ø… Ri → rRi ), (c) ˙ æ i ª Ł æ Œ j (æ Œ ø… Ri → Ri − rRj ), º Œº æ Ł ŁŁ æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß Œ Ł Ł Ø , Ł … Œ, Æß Œ Ø æ Œ ß º ß º Æߺ Ł Ł , Ł æ º ß Ł ß Ø Ł Ł Ø ÆߺŁ º Ł. ¨ Œ Ø Ł … Ø Ł Ł Ø ß æłŁ Ø Ł ß æŁæ ß º ªŒ º æ … ł Ł . Łæ ŁØ æ æº Ø Ł Ø Œ æ æłŁ Ø Łæ Œ Œ   1 = 38/ 7 x x 2 = −5/ 21  x 3 = 1/ 21 . Ł Æ Œ Ł ß Œ d .