Подсказка по алгебре Подсказка по алгебре Формулы сокр. умножения и разложения на множители : (a±b)І=aІ±2ab+bІ (a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі aІ-bІ=(a+b)(a-b) aі±bі=(a±b)(aІ∓ab+bІ), (a+b)і=aі+bі+3ab(a+b) (a-b)і=aі-bі-3ab(a-b) xn -an =(x-a)(xn-1 +axn-2 +aІxn-3 +...+an-1 ) axІ+bx+c=a(x-x1 )(x-x2 ) где x1 и x2 — корни уравнения axІ+bx+c=0 Степени и корни : ap ·ag = ap+g ap :ag =a p-g (ap )g =a pg ap /bp = (a/b)p ap ×bp = abp a0 =1; a1 =a a-p = 1/a p Öa =b => bp =a p Öap Öb = p Öab Öa ; a = 0 Квадратное уравнение axІ+bx+c=0; (a¹0) x1,2 = (-b±ÖD)/2a; D=bІ -4ac D>0® x1 ¹x2 ;D=0® x1 =x2 D<0, корней нет. Теорема Виета: x1 +x2 = -b/a x1 × x2 = c/a Приведенное кв. Уравнение: xІ + px+q =0 x1 +x2 = -p x1 ×x2 = q Если p=2k (p-четн.) и xІ+2kx+q=0, то x1,2 = -k±Ö(kІ-q) Нахождение длинны отр-ка по его координатам Ö((x2 -x1 )І-(y2 -y1 )І) Логарифмы: loga x = b => ab = x; a>0,a¹0 a loga x = x, loga a =1; loga 1 = 0 loga x = b; x = ab loga b = 1/(log b a) loga xy = loga x + loga y loga x/y = loga x - loga y loga xk =k loga x (x >0) loga k x =1/k loga x loga x = (logc x)/( logc a); c>0,c¹1 logb x = (loga x)/(loga b) Прогрессии Арифметическая an = a1 +d(n-1) Sn = ((2a1 +d(n-1))/2)n Геометрическая bn = bn-1 × q b2 n = bn-1 × bn+1 bn = b1 ×qn-1 Sn = b1 (1- qn )/(1-q) S= b1 /(1-q) Тригонометрия. sin x = a/c cos x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = cos x/sin x sin (p-a) = sin a sin (p/2 -a) = cos a cos (p/2 -a) = sin a cos (a + 2pk) = cos a sin (a + 2pk) = sin a tg (a + pk) = tg a ctg (a + pk) = ctg a sinІ a + cosІ a =1 ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ 1+tgІa = 1/cosІa , a¹p(2n+1)/2 1+ ctgІa =1/sinІa , a¹ pn Формулы сложения: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y ) x, y, x + y ¹ p/2 + pn tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y ¹ p/2 + pn Формулы двойного аргумента. sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cosІ a - sinІ a = 2 cosІ a - 1 = = 1-2 sinІa tg 2a = (2 tga)/ (1-tgІa) 1+ cos a = 2 cosІ a/2 1-cosa = 2 sinІ a/2 tga = (2 tg (a/2))/(1-tgІ(a/2)) Ф-лы половинного аргумента. sinІ a/2 = (1 - cos a)/2 cosІa/2 = (1 + cosa)/2 tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a a¹ p + 2pn, n ÎZ Ф-лы преобразования суммы в произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2 sin (x+y) tg x + tg y = ————— cos x cos y sin (x - y) tg x - tgy = ————— cos x cos y Формулы преобр. произв. в сумму sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y)) cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y)) sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y)) Соотнош. между ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2 x/2) cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tgІ x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2 x) sinІa = 1/(1+ctgІa) = tgІa/(1+tgІa) cosІa = 1/(1+tgІa) = ctgІa / (1+ctgІa) ctg2a = (ctgІa-1)/ 2ctga sin3a = 3sina -4sinіa = 3cosІasina-sinіa cos3a = 4cosіa-3 cosa= = cosіa-3cosasinІa tg3a = (3tga-tgіa)/(1-3tgІa) ctg3a = (ctgіa-3ctga)/(3ctgІa-1) sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2) cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2) tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))= sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))= sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina sin(arcsin a) = a cos( arccos a) = a tg ( arctg a) = a ctg ( arcctg a) = a arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2] arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p] arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2] arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p] arcsin(sin a )= 1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk] 2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk] arccos (cos a ) = 1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p] 2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk] arctg(tg a )= a - p k aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk) arcctg(ctg a ) = a - p k aÎ(pk; (k+1)p) arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa = = arctg a/Ö(1-aІ) arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a= = arc ctga/Ö(1-aІ) arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga = = arcsin a/Ö(1+aІ) arc ctg a = p-arc cctg(-a) = = arc cos a/Ö(1-aІ) arctg a = arc ctg1/a = = arcsin a/Ö(1+aІ)= arccos1/Ö(1+aІ) arcsin a + arccos = p/2 arcctg a + arctga = p/2 Тригонометрические уравнения sin x = m ; |m| = 1 x = (-1)n arcsin m + p k , kÎ Z sin x =1 sin x = 0 x = p/2 + 2pk x = pk sin x = -1 x = -p/2 + 2 pk cos x = m ; |m| = 1 x = ± arccos m + 2 p k cos x = 1 cos x = 0 x = 2pk x = p/2+pk cos x = -1 x = p+ 2pk tg x = m x = arctg m + pk ctg x = m x = arcctg m +pk sin x/2 = 2t/(1+t2 ); t - tg cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ) Показательные уравнения. Неравенства: Если af(x) >(<) aа(ч) 1) a>1, то знак не меняеться. 2) a<1, то знак меняется. Логарифмы : неравенства: loga f(x) >(<) log a j(x) 1. a>1, то : f(x) >0 j(x)>0 f(x)>j(x) 2. 0<a<1, то: f(x) >0 j(x)>0 f(x)<j(x) 3. log f(x) j(x) = a ОДЗ: j(x) > 0 f(x) >0 f(x ) ¹ 1 Тригонометрия: 1. Разложение на множители: sin 2x - Ö3 cos x = 0 2sin x cos x -Ö3 cos x = 0 cos x(2 sin x - Ö3) = 0 .... 2. Решения заменой .... 3. sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2 sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0, а такое невозможно, => можно поделить на cos x Тригонометрические нер-ва : sin a ³ m 2 p k+ a 1 = a = a 2 + 2 p k 2 p k+ a 2 = a = ( a 1 +2 p )+ 2 p k Пример: I cos (p/8+x) < Ö3/2 pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk 2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;; II sin a = 1/2 2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk cos a ³ ( = ) m 2 p k + a 1 < a < a 2 +2 p k 2 p k+ a 2 < a < ( a 1 +2 p ) + 2 p k cos a ³ - Ö2/2 2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk tg a ³ ( = ) m p k+ arctg m = a = arctg m + p k ctg ³ ( = ) m p k+arcctg m < a < p + p k Производная: (xn )’ = n× xn-1 (ax )’ = ax × ln a (lg ax )’= 1/(x×ln a) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1/cosІ x (ctg x)’ = - 1/sinІx (arcsin x)’ = 1/ Ö(1-xІ) (arccos x)’ = - 1/ Ö(1-xІ) (arctg x)’ = 1/ Ö(1+xІ) (arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+xІ) Св-ва: (u × v)’ = u’×v + u×v’ (u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ Уравнение касательной к граф. y = f(x0 )+ f ’(x0 )(x-x0 ) уравнение к касательной к графику в точке x 1. Найти производную 2. Угловой коофициент k = = производная в данной точке x 3. Подставим X0 , f(x0 ), f ‘ (x0 ), выразим х Интегралы : ò xn dx = xn+1 /(n+1) + c ò ax dx = ax/ln a + c ò ex dx = ex + c ò cos x dx = sin x + cos ò sin x dx = - cos x + c ò 1/x dx = ln|x| + c ò 1/cosІ x = tg x + c ò 1/sinІ x = - ctg x + c ò 1/Ö(1-xІ) dx = arcsin x +c ò 1/Ö(1-xІ) dx = - arccos x +c ò 1/1+ xІ dx = arctg x + c ò 1/1+ xІ dx = - arcctg x + c Площадь криволенейной трапеции. Геометрия Треугольники a + b + g =180 Теорема синусов aІ = bІ+cІ - 2bc cos a bІ = aІ+cІ - 2ac cos b cІ = aІ + bІ - 2ab cos g Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам. Биссектриса - угол. Высота падает на пр. сторону под прямым углом. Формула Герона : p=Ѕ(a+b+c) _____________ S = Öp(p-a)(p-b)(p-c) S = Ѕab sin a Sравн. =(aІÖ3)/4 S = bh/2 S=abc/4R S=pr Трапеция. S = (a+b)/2× h Круг S= pRІ Sсектора =(pRІa)/360 Стереометрия Параллепипед V=Sосн ×Р Прямоугольный V=abc Пирамида V =1/3Sосн. ×H Sполн. = Sбок. + Sосн. Усеченная : H . _____ V = 3 (S1 +S2 +ÖS1 S2 ) S1 и S2 — площади осн. Sполн. =Sбок. +S1 +S2 Конус V=1/3 pRІH Sбок. =pRl Sбок. = pR(R+1) Усеченный Sбок. = pl(R1 +R2 ) V=1/3pH(R1 2 +R1 R2 +R2 2 ) Призма V=Sосн. ×H прямая: Sбок. =Pосн. ×H Sполн. =Sбок +2Sосн. наклонная : Sбок. =Pпс ×a V = Sпс ×a, а -бок. ребро. Pпс — периметр Sпс — пл. перпенд. сечения Цилиндр. V=pRІH ; Sбок. = 2pRH Sполн. =2pR(H+R) Sбок. = 2pRH Сфера и шар . V = 4/3 pRі - шар S = 4pRі - сфера Шаровой сектор V = 2/3 pRіH H - высота сегм. Шаровой сегмент V=pHІ(R-H/3) S=2pRH град 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 180° a -p/2 -p/3 -p/4 -p/6 0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 3p/6 p sina -1 -Ö3/2 -Ö2/2 - Ѕ 0 Ѕ Ö2/2 Ö3/2 1 - Ѕ 0 cosa 1 Ö3/2 Ö2/2 Ѕ 0 - Ѕ -Ö2/2 - Ö3/2 -1 tga Ï -Ö3 -1 -1/Ö3 0 1/Ö3 1 Ö3 Î -Ö3 -1 0 ctga --- Ö3 1 1/Ö3 0 -1/Ö3 -1 -- n 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 9 16 25 36 49 64 81 3 8 27 64 125 216