Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 50
Министерство Образования и Науки Украины Харьковский национальный университет А.А. Тензор, В.В. Невязкин Краткий курс теории функции Зильберта
(на русском и украинском языках)
Харьков 2007 DFGKJH5676 Издание первое и последнее © 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта ОГЛАВЛЕНИЕ
:
Математический анализ 4 Линейная алгебра 5 Дифференциальные уравнения 6 Теоретическая механика 6 Функциональный анализ 7 Теория вероятности 8 Комплексный анализ 9 Дифференциальная геометрия 10 Теория управления 14 Численные методы 15 Задачи 16 Список использованной литературы 18
Функція Зiльберта З(x
) має в околі точки x
похідні до (n
–1) порядку включно. Доведення
(від приємного
)
. Припустимо, що З(x
) має похідні до (n
+8) порядку включно. Це дурниця. Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю) розкладається в ряд Тейлора з залишковим членом у вигляді функції Зільберта З(x
). Доведення
.
Оскільки Функція Штрассермана досить приємна на вигляд, ми можемо записати нерівність:
ШТР(х,з,ю) Отримали суперечність. Теорему доведено. Зауваження 1
.
Ви спитаєте, при чому у попередній теоремі функція Зільберта? Відповідаємо – просто так! Зауваження 2
.
Значення функції ШТР(π,з,ю) покладемо рівним πˆ (пі з дахом): ШТР(π, ,з ю) ≡πˆ . Якщо це не так, доповнимо інтеграл Пуассона порожніми брусами. Це корисна вправа. Означення
.
Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю), що діє на функцію Зільберта З(x
), називається оператором блабла
∇. Якщо ранг матриці Якобі J
дорівнює –1, та у тому випадку, коли власні вектори ортонормованого базису кореневого підпростору Зільберта <α,β, ,γσ,...,χ1
,ω,ψ> не усі нулі, можна записати тотожність:
k
→1 j
=−9 Доведення
.
Приймемо цю теорему на віру. Наслідки
Згідно до цієї теорії можна потрапити до лікарні. Означення
.
Матрицею Петросяна
називають матрицю П(x
), у якої елементи, що стоять на головній диагоналі, належать функції Зільберта З(x
). Означення
.
Детермінант матриці Петросяна – петросяніан
П[З(x
)]. Якщо петросяніан задовольняє умовам теореми Зільберта-Штольца, і виконана достатня умова теореми Штрассермана, то петросяніан П[З(x
)] – замкнена множина на інтервалі [ Доведення
.
Наш інтервал [ мою Вейєрштраса-Ляпунова, він має скінченне покриття. Спрямуємо μ на +∞ \{2} та підставимо правий кінець інтервала у петросяніан. Отримали:
П а це означає, що петросяніан – замкнена множина, оскільки ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА
Якщо спочатку подивитися наліво, а потім направо, то, використовуючи метод віртуальних ітерацій, можемо найкоротшим шляхом прийти на схід. Неравенство Треугольника
*
. *Треугольник И.И. – выдающийся Харьковский математик, один из основателей теории функции Зильберта.
Пусть α, ,b
ξ – стороны треугольника. Тогда α+b
>ξ. (1) Замечание
.
“> ” – знак “больше так сказать”
– это то же самое, что знак “>” в пространстве Римана, только в пространстве Штрассермана ШТРn
. Теорема 2
В принятых обозначениях b
+ξ>α. (8) Теорема 3
В принятых обозначениях α+ξ>b
. (9) Но это противоречит аксиоматике Зильберта, согласно которой все теоремы верны! Упражнение
.
Теоремы 2,3 доказать самостоятельно. В теории функции Зильберта существует сходимость “так сказать”, “как надо” и ”как не надо”, а именно: Определение
.
Последовательность 1. положим ξ=δ, 2. ∀ >ε 0 ∃δ: |ξk
−δ|>ε. 3. мат. ожидание функции Зильберта M[З(x)] равно константе Бернулли. Обозначается ξk
⎯так
⎯⎯⎯⎯сказать
→ξ. Определение
.
Последовательность Определение
.
Последовательность Определение
.
Функциональная последовательность f
(ξk
) ←
⎯
⎯⎯
⎯→
Λ ξ λ→→ коллинеарно сходится
к Λ, когда ξ равномерно сходится к λ с 1
вероятностью k
Теорема
.
Рассмотрим конформное отображение f
из области D
в область G
: D
а б в г д е ж з и к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f
: D
→ G
G
а б в г д е ж з и к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тогда на ∀ факультете ∃ пара такая, что отображение f
∃ и не единственно, более того, таких отображений ∃ минимум два. Проверить самостоятельно. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Определение
.
Регулярный одноугольник
– геометрическая фигура, ( состоящая из вершины (точки A
) и дуги (AA
):
Пусть γ – регулярный одноугольник с вершиной в точке A
. Возь( мём точку B
∈γ, B
≠ A
. Тогда длина дуги AB
равна ( B
l AB
( ) =∫d
ξ. A
Замечание
.
Если A
=B
, то длина дуги неопределена и условно ∞
считается равной 8 Упражнение
.
Доказать эту теорему самостоятельно. Определение
.
Двуугольник называется измеримым по Зильберту
, если у него 2 угла, причём один угол – первый, а другой – второй. 1. Простой двуугольник
2. Прямой равноугольный двуугольник
3. Прямоугольный двуугольник
Замечание
.
Двуугольники бывают выпуклые и впуклые, например
Впуклые двуугольники измеримыми по Зильберту не являются. Это следует из основной предельной теоремы Зильберта-Остроградского. В пространстве Зильберта Zn
двуугольники, измеримые по Зильберту, можно дифференцировать, интегрировать и брать от них невязку ⇔ мат. ожидание косого геликоида, содержащего этот двуугольник, имеет предел, который сходится к константе Бернулли. Доказательство
.
Клянусь Демидовичем! Определение
.
Треугольник называется измеримым по Зильберту
, если сумма его углов больше 1800
. 1. Треугольник Зильберта
2. Треугольник Штрассермана (штреугольник) – имеет 3 прямых угла
3. А этот треугольник не измерим по Зильберту
Одноугольники могут иметь 1, 2 или 3 вершины, если дуга незамкнута и имеет самопересечения.
Замечание
.
Если число вершин >3, одноугольник называется вырожденным
. Точка тоже вырожденный случай. Такие одноугольники мы рассматривать не будем.
Теорема
.
Рассмотрим шестиугольник ATBCEB и расположим его стороны в порядке возрастания. Тогда сумма длин его сторон в пространстве Лобачевского, умноженная на cosecτ, где τ∈ −( 4.7,18] – дискретная функция, которая принимает 2 значе- ния: {1, 15} в зависимости от знака cosecτ. Замечание
.
Эта теорема будет доказана на старших курсах. Определение 1
.
Последовательность Определение 2
.
Последовательность Определения 1 и 2 неэквивалентны. Доказательство
.
Действительно, мы же не можем одновременно хотеть одного и того же слабо и сильно! Теорема доказана. Рассмотрим сумму с коэффициентами c
k
, где k
−1 f
c
k
= k
−1 k
k
−1 −∑ f
j
∏ i
=0 x
j
− x
i
i
≠ j
i
=0 i
и, пожалуй, хватит. 1. Как доопределить остаточный член функции Зильберта в выколотой окрестности ∞, в точке {–6} так, чтобы относительно винтовой линии (n
–3) порядка cosϕ и sinϕ были параллельны? (Ответ – молча) 2. (Прикладная задача мат. статистики) Берём константу Бернулли и устремляем её на нечности трансцендентная функция, умноженная на константу Бернулли? (Ответ – вызывающе) 3. Доказать, что в пространстве Зильберта Zn
числитель и знаменатель ортогональны, а их нормы и невязки скрещиваются. 4. Попробуйте на досуге проаппроксимировать функцию Зильберта З(x
) константами Бернулли. 5. Введём в рассмотрение функцию Бюншмана Б
(x
) n
Б
( )x
= −|| f
∑c y
k k
|| k
=1 Вопрос: как теперь вывести её из рассмотрения? 6. Доказать, что у всех девушек волосы одного цвета. Решение (методом мат. индукции)
. 10
. При n
=1 утверждение верно: у одной девушки волосы одного цвета. 678k
678k
000...0014243 000...0014243 k
+1 k
+1 Рис. 1. 20
. Пусть утверждение верно при n
=k
. Докажем его для n
=k
+1. Внимательно рассмотрим k
+1 девушку. У первых k
девушек волосы одного цвета (по предположению), и у последних k
девушек волосы одного цвета, значит, у k
+1 девушки волосы одного цвета. Утверждение доказано. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
:
1. В учебнике по теории функции Зильберта использованы конспекты студентов мех-мата по: - матанализу, - линейной алгебре, - диффурам, - теормеху, - функану, - теорверу, - комплану, - дифф. геометрии, - теории управления, - численным методам, где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно. 2. Демидович Б. П. “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”. Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт. Тираж 600 экземпляров. Цена 20 коп.
|