Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона Федеральное агентство по образованию РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра: «Высшая математика» РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА Тема: «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона» Выполнила: студентка 23ЭУТ Хасянова А.Ф. Проверил: Матвеева С.В Дата_______________ Оценка_____________ Омск-2010 Содержание 1. Введение. Исходные данные 2. Вариационный ряд 3. Интервальный вариационный ряд 4. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х 5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона 6. Теоретическая функция плотности рассматриваемого закона распределения «Построение ее на гистограмме» 7. Проверка критерия Пирсона Вывод 1. Исходные данные варианта №20 Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1. Таблица 1 79,02 79,70 74,68 20,47 11,70 44,64 40,75 8,59 96,42 6,17 91,75 93,29 77,57 81,25 76,59 51,84 6,17 42,79 80,87 92,81 48,04 14,70 100,64 69,83 94,56 70,42 47,93 47,48 66,79 42,12 20,27 51,36 62,51 66,86 87,99 99,29 5,96 60,38 62,53 75,50 46,55 83,53 55,65 59,26 77,05 101,10 29,93 102,21 86,11 45,92 90,93 24,30 9,76 90,25 36,72 84,96 20,50 81,99 56,29 31,75 43,61 68,70 80,47 100,66 29,98 48,88 40,37 67,46 91,46 59,11 90,75 4,64 36,53 32,39 6,99 8,41 30,85 37,30 64,44 25,60 18,00 84,27 98,88 36,39 34,64 49,49 10,53 50,97 39,40 3,59 100,39 18,57 9,27 10,89 65,91 35,62 75,45 37,86 89,74 4,57 Выборка содержит 100 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n=100. 2. Построение вариационного ряда Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х(1) ≤ х(2) ≤…≤ х(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами. Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. 2). Таблица 2 3,59 9,76 24,30 36,53 44,64 51,84 66,68 77,05 84,96 93,29 4,57 10,53 25,60 36,72 45,92 55,65 66,79 77,75 86,11 94,56 4,64 10,89 29,93 37,30 46,55 56,29 67,46 79,02 87,99 96,42 5,96 11,70 29,98 37,86 47,48 59,11 68,78 79,70 89,74 98,88 6,17 14,70 30,85 39,40 47,93 59,26 69,83 80,47 90,25 99,29 6,17 18,00 31,75 40,37 48,04 60,38 70,42 80,87 90,75 100,39 6,99 18,57 32,39 40,75 48,88 62,51 74,68 81,25 90,93 100,46 8,41 20,27 34,64 42,12 49,49 62,53 75,45 81,99 91,46 100,66 8,59 20,47 35,62 42,79 50,97 64,44 75,50 83,53 91,75 101,10 9,27 20,50 36,39 43,61 51,36 65,71 76,59 84,27 92,81 102,21 3. Построение интервального вариационного ряда Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе. Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x(i) и обозначается mi; при этом , где n – объем выборки. Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой и обозначается Pi*, т.е. – число (частота) попаданий значений X в i-й разряд, n – объем выборки. Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия: Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами. Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия. 1. Находим размах выборки R = xmax – xmin. Имеем R = 102,21-3,59=98,62 . 2. Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса: где n – объем выборки, К– число частичных интервалов . , 3. ∆= 10 4. Определяем начало первого частичного интервала После разбиения на частичные интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые ≥ нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. 3). Таблица 3 Разряды mi = 1 [3.5-13.5) 14 0.14 0.014 8.5 2 [13.5-23.5) 6 0.06 0.006 18.5 3 [23.5-33.5) 7 0.07 0.007 28.5 4 [33.5-43.5) 12 0.12 0.012 38.5 5 [43.5-53.5) 12 0.12 0.012 48.5 6 [53.5-63.5) 7 0.07 0.007 58.5 7 [63.5-73.5) 8 0.08 0.008 68.5 8 [73.5-83.5) 12 0.12 0.012 78.5 9 [83.5-93.5) 13 0.13 0.013 88.5 10 [93.5-103.5) 9 0.09 0.009 98.5 Контроль =100 =1 Где -плотность относительной частоты -середина частичных интервалов 4. Построение гистограммы Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению – плотность частоты (или – плотность частности). По данным таблицы 4 строим гистограмму (рис. 1). Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) случайной величины Х. Площадь гистограммы равна единице. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности По данным наблюдений статистическое среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение у* по значению почти совпадают. Учитывая данный факт, а также вид гистограммы можно предположить, что случайная величина имеет равномерное распределение. По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о равномерном законе распределения генеральной совокупности Х. 5. Оценка числовых характеристик и параметров закона распределения Оценками математической статистики называют приближенные значения числовых характеристик или параметров законов распределения генеральной совокупности Х вычисленные на основе выборки. Оценка называется точечной, если она определяется числом или точкой на числовой оси. Оценка (как точечная, так и интервальная) является случайной величиной, так как она вычисляется на основе экспериментальных данных и является функцией выборки. При вычислении точечных оценок для удобства берут не сами элементы выборки, а середины частичных интервалов из интервального вариационного ряда (табл. 1) и применяют формулы: где n - объем выборки, – i-й элемент выборки Составим таблицу для нахождения и Таблица 4 i 1 8.5*14=119 2 18.5*6=111 3 28.5*7=199.5 4 38.5*12=462 5 48.5*12=582 6 58.5*7=409.5 7 68.5*8=548 8 78.5*12=942 9 88.5*13=1150.5 10 98.5*9=886.5 6. Равномерный закон интервальный вариационный генеральный совокупность Выдвинута гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по равномерному закону найдем функцию плотности равномерного закона вычислив оценки параметров и , Т.к М(x)= , , D(x)= Таблица 5 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 186 После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, нанесем их прямо на гистограмму, получая тем самым кривую функции плотности 7 Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = ч2. Пирсон доказал, что значение статистического критерия не зависит от функции и от числа опытов n, а зависит от числа частичных интервалов интервального вариационного ряда. При увеличении ч2, и находится по формуле: К = или К = Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице 5. Таблица 6 i / 1 0.14 14 0.1029 10.29 13.76/10.37=1.33 2 0.06 6 0.1 10 16/10=1.6 3 0.07 7 0.1 10 16/10=1.6 4 0.12 12 0.1 10 16/10=1.6 5 0.12 12 0.1 10 16/10=1.6 6 0.07 7 0.1 10 16/10=1.6 7 0.08 8 0.1 10 16/10=1.6 8 0.12 12 0.1 10 16/10=1.6 9 0.13 13 0.1 10 16/10=1.6 10 0.09 9 0.1149 11.49 6.3/11.49=0.548 01.86 Чтобы найти значение надо воспользоваться табличными распределениями в которых значение сл. величины находят по заданному уровню значимости и вычисленному числу степеней свободы R- число частичных интервалов в таблице 1 но если в некоторых из интервалов значения то надо объединить расположенные рядом интервалы так, чтобы тогда число R-это число из необъединенных интервалов i- число неизвестных параметров В рассматриваемом эмпирическом распределении не имеются частоты, меньшие 5. Случайная величина ч2 (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение ч2 с числом степеней свободы 1) К = уровень значимости б =1– =0,05 , найдем по таблице значений критическое значение для б = 0,05 и =9 Имеем =16.9. Так как то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости б. 2) = , = 3) M(x)= , M(x)= 4) D(x)= D(x.1)= 5) Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством ; P( )= Это означает, что нулевую гипотезу можно считать правдоподобной и гипотеза Но принимается Вывод: В ходе расчетно-графической работы мы установили, что генеральная совокупность X распределена по равномерному закону, проверив это по критерию Пирсона. Определили параметры и числовые характеристики закона и построили для них доверительные интервалы.