Матрицы Метод Гаусса КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей "Утверждаю" Начальник кафедры № 9 полковник ЯКОВЛЕВ А.Б. «____»______________ 2004 г. доцент СМИРНОВА А.И. "МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА" ЛЕКЦИЯ № 2 / 3 Обсуждено на заседании кафедры № 9 «____»___________ 2003г. Протокол № ___________ Кострома, 2003 C одержание Введение 1. Действия над матрицами. 2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Заключение Литература 1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7. 2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл. 10, § 1, 7. ВВЕДЕНИЕ На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах. 1-ый учебный вопрос ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямоугольная таблица из m , n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида: называется матрицей размера m ´ n Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Положение элемента а i j в матрице характеризуются двойным индексом: первый i – номер строки; второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С… Коротко можно записывать так: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n , называется квадратной. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы. ПРИМЕР. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица размера 1 ´ n , состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой. Матрица размера т ´ 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n : побочная диагональ главная диагональ Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется главной диагональю матрицы (на главной диагонали стоят элементы вида а i i ). Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы . Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц. 1) Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю. 2) Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной . Обозначается: 3) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю: верхняя нижняя треугольная матрица треугольная матрица Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы . Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается: Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е ½ = 1 ЗАМЕЧАНИЕ. Неквадратная матрица определителя не имеет. Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной , если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Матрица, полученная из данной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной. Матрицу, транспонированную к А , обозначают АТ . ПРИМЕР. 2 3 3 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы. Рассмотрим действия над матрицами. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ. Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Суммой двух матриц А = (а i j ) и В = ( bi j ) одинакового размера называется матрица С = (с i j ) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. с i j = a i j + b i j Обозначается сумма матриц А + В. ПРИМЕР. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k , надо умножить на это число каждый элемент матрицы : если А= (а i j ), то k · A = (k · a i j ) ПРИМЕР. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО 1. Переместительное свойство: А + В = В + А 2. Сочетательное свойство: ( А + В ) + С = А + ( В + С ) 3. Распределительное свойство: k · ( A + B ) = k A + k B , где k – число УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ Матрицу А назовем с о г л а с о в а н н о й с матрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k называется матрица С размера m ´ k , элемент которой а i j , расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В, т.е. c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j Обозначим: С = А · В. Если то Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы не согласованы. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если имеет смысл А ´ В и В ´ А , то, вообще говоря А ´ В ¹ В ´ А , т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А . Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы. ПРИМЕРЫ . Найти , если можно, А ´ В и В ´ А . 1. Решение : Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют. 2. Решение : Матрицы А и В согласованы Матрицы В и А не согласованы, поэтому В ´ А не имеет смысла. Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель . СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 1. Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С 2. Распределительное свойство: (А + В) ´ С = А ´ С + В ´С Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е. ½С ½ = ½ А ½ ½ В ½ Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице . Действие "деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе. 2 – ой учебный вопрос РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: x 1 , x 2 , …, xn – неизвестные. ai j - коэффициенты при неизвестных. bi - свободные члены (или правые части) Система линейных уравнений называется совместной , если она имеет решение, и несовместной , если она не имеет решения. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение и неопределенной , если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными , если они имеют одно и то же множество решений. К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: 1. перемена местами двух любых уравнений; 2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля; 3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей. Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса. Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение: Дана система: ( 1 ) 1-ый шаг метода Гаусса. На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11 . Получим уравнение: ( 2 ) где Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а 21 и а 31 ). Система примет вид: ( 3 ) Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы. 2-ой шаг метода Гаусса. На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение: ( 4 ) где Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение: Предполагая, что находим В результате преобразований система приняла вид: (5) Система вида (5) называется треугольной . Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса . Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2 . Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1 . В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения. Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b , где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду. Треугольная система имеет вид: Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса. Ступенчатая система имеет вид: Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х k +1 , … , xk переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х 1 , … , xk , которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе. Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ. доцент Смирнова А.И.