Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра : «Электроснабжение железнодорожного транспорта» Дисциплина : «Основы теории надёжности» « Расчет показателей надежности простейшей системы электроснабжения вероятностными методами» Выполнил: студент группы ЭНС-04-2 Иванов А. К. Проверил: канд. техн. наук, доцент Герасимов Л. Н. Иркутск 2008 Введение Термины и определения, используемые в теории надежности, регламентированы ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике. Термины и определения». Надежность – свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения всех эксплуатационных параметров. Надежность объекта характеризуется следующими основными состояниями и событиями : · Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией. · Работоспособность – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД. · Предельное состояние – состояние объекта, при котором его применение (использование) по назначению недопустимо или нецелесообразно. · Повреждение - событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении его работоспособного состояния. · Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта. · Критерий отказа – отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа. Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других – определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим объекты могут быть разделены на два класса: · невосстанавливаемые , для которых работоспособность в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению, или по каким-либо причинам нецелесообразна; · восстанавливаемые , работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены элементов. К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например, электронные и электротехнические детали (диоды, сопротивления, конденсаторы, изоляторы и другие элементы конструкций). Объекты, состоящие из многих элементов, например, трансформатор, выключатель, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или нескольких элементов, которые могут быть отремонтированы или заменены. В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым. Введенная классификация играет важную роль при выборе моделей и методов анализа надежности. Надежность является комплексным свойством, включающим в себя, в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации, ряд Составляющих (единичных) свойств, в соответствии с ГОСТ 27.002-89: · безотказность; · долговечность; · ремонтопригодность; · сохраняемость. Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени. Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов. Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания. Сохраняемость – свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования. В зависимости от объекта надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их. Наработка – продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.). Показатель надежности количественно характеризует, в какой степени данному объекту присущи определенные свойства, обусловливающие надежность. Задание на расчёт Система электроснабжения, представленная на рис.1, включает в себя два энергорайона, питающихся от одного источника Г. Второй энергорайон получает питание по воздушной ЛЭП. Энергорайон №1 Энергорайон №2 Рис. 1. Схема системы электроснабжения Первый энергорайон подключен через две подстанции А и Б , соединенные параллельно по низкой стороне. Каждая подстанций способна обеспечить питание данного энергорайона, поэтому нарушение электроснабжения наступает только при одновременном обесточивании подстанций А и Б . Второй район имеет одну подстанцию В и отключается при всех отказах, ведущих к обесточиванию этой подстанции. Требуется найти аналитическим методом и методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) · вероятность безотказной работы (показатель безотказности) системы, зная вероятности безотказной работы отдельных ее элементов · абсолютную и относительную погрешности оценки искомого показателя надежности статистическим методом при разном числе испытаний. Исходные данные По результатам испытаний, или обработки статистики, получены вероятности РГ = 0.95; РТ = 0.985; РВЛ = 0.89; Так же определены вероятности безотказной работы трансформаторов подстанций РА = РБ = РВ = 0.96. Расчёт надёжности Безотказная работа рассматриваемой части системы электроснабжения будет тогда, когда в соответствии с принятыми условиями в работоспособном состоянии находятся · все подстанции А и Б и В , · одна из подстанций А или Б , и подстанция В . Одновременное обесточивание подстанций А и Б, или обесточивание подстанции В , так же как и одновременное обесточивание всех трех подстанций является отказом системы . Для решения задачи требуется знать вероятности обесточивания подстанций. Подстанции обесточиваются, если повреждается (выходит из работы) хотя бы один из элементов системы в цепи, соединяющей соответствующую подстанцию (А и Б, или В ) с источником генерируемой мощности, а также при отказе самого источника Г , или устройств подстанции. Вероятности обесточивания подстанций могут быть вычислены по данным о надежности элементов цепи соединения, либо могут быть получены в результате обработки статистики (опытных данных) о функционировании подстанций в прошлом. Так, если за K лет собрана статистика о числе случаев обесточивания nj каждой j - ой подстанции и длительностях пребывания τ i их в таком состоянии при i - ом обесточивании (i = 1.. nj ), то можно определить среднее время пребывания подстанций в обесточенном состоянии - τ oi по формуле τ oi = , {час\год} (1) Соответственно, среднее время пребывания подстанций в работоспособном состоянии T 0 j определиться по формуле T 0 j = T год - τ oi , (2) где T 0 j - календарное число часов в расчетном периоде – в данном случае, это один расчетный год, равный 8760 час. Параметры T 0 j и τ oi можно использовать для определения других показателей надежности подстанции. Так, вероятность безотказной работы подстанции вычисляется по формуле Pj = T 0 j / T год , , здесь j = {Г, Т, А, Б, ВЛ, В} (3) Определив по заданной статистике значения Pj , , рассчитаем функцию надежности системы в целом, которая, как показатель безотказности, соответствует вероятности ее безотказной работы. Аналитический метод Из большого числа применяющихся аналитических методов воспользуемся вероятностными, основанными на теоремах сложения и умножения для групп совместных и несовместных событий. В соответствии с этими теоремами, на первом этапе решения данной задачи определяются вероятности бесперебойного электроснабжения каждой из подстанций по вероятностям безотказной работы элементов, образующих последовательные цепочки связей подстанции с источником питания Г . Допустим, что по результатам испытаний, или обработки статистики, получены эти вероятности. По вероятностям безотказной работы элементов из исходных данных найдём вероятности работоспособного состояния Vj для каждой из подстанций по формулам: V А = РГ . РТ . РА = 0.95 . 0.985 . 0.96. = 0.898 V Б = РГ . РТ . РБ = 0.95 . 0.985 . 0.96. = 0.898 V В = РГ . РТ . РВ . РВЛ = 0.95 . 0.985 . 0.96 . 0.89 = 0.800 Полученные результаты показывают, что вероятность работоспособного состояния для подстанции В ниже, чем для А или Б , так как в цепочке связи от Г к В имеется дополнительный элемент - ВЛ , - надежность которого отражается на состоянии подстанции В . Подстанции А и Б находятся в одинаковых условиях , поэтому V А = V Б . По полученным значениям V А, V Б, V В вычисляются вероятности безотказного электроснабжения энергорайонов - V №1 и V №2 . Для энергорайона №1 схема замещения по надежности показана на рис. 2. А Для данной схемы вероятность V №1 определиться как: V №1 = РГ . РТ . (1-(1- РА )(1- РБ )) = 0.95 . 0.985 . (1-(1- 0.96)(1- 0.96)) = 0 .934. Для энергорайона №2 схема замещения по надежности линейна, поэтому V №2 = V В = 0.8. Вероятность безотказной работы системы в целом определиться в соответствии с теоремой умножения для совместных событий Vsys = V №1 . V №2 = 0.934 ·· 0.8 = 0.7472. Метод статистических испытаний Для решения данной задачи методом Монте-Карло предполагается использовать датчик случайных чисел v с равномерным распределением в интервале [0..1]. Эти числа сравниваются со значениями V А , V Б, V В . Сформулируем решающее правило : если значение случайного числа v не больше вероятности работоспособного состояния каждой из подстанций v ≤ Vj , , j { А, Б, В }, (4) то соответствующая подстанция находится в рабочем состоянии, иначе – в обесточенном состоянии. На этом принципе строятся «испытания» по оценке состояний системы. Если в результате разыгрывания «состояний подстанций» отказов в электроснабжении не будет, то испытание признается положительным, в противном случае – отрицательным. Вероятность безотказной работы системы Usys в этом методе определяется по формуле: Usys = N + / N = 1 - N - / N , (5) где N – общее число испытаний, N + - число положительных, N - - число отрицательных испытаний, N = N + + N - . Результат каждого испытания удобно представить значением двоичной (бинарной) переменной bj , принимающей значение 1, если выполнен критерий (4) и 0 в ином случае: если v ≤ Vj то bj = 1 иначе bj = 0. Из рис. 1 и выражений (4) и (5) следует: bsys = ( bA + b Б )· b В , (6) где bsys – состояние системы. Тогда, после N испытаний, значение N + можно определить как N + В таблице №1 показана реализация данной методики (подготовлена в Excel) и приведены результаты разыгрывания случайных состояний системы методом Монте-Карло при числе испытаний N = 10. По данным из таблицы №1 получаем статистическую оценку вероятности работоспособного состояния системы: число значений bsys = 0 равно трем, то есть N - = 3, N + = 7, Usys = 7/10 = 0.7. Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна = | Usys - Vsys | = 0.7- 0.7472 = 0.0472. (7) Относительная погрешность = ( / Vsys ) 100% = 0.0472/0.7472 = 6.3%. (8) В соответствии с заданием, увеличим число испытаний вдвое. Для этого достаточно модифицировать данные в Excel – таблице, снова подсчитать число значений bsys = 0 и, сложив с прежним, получим (показан фрагмент таблицы) N - = 3+2, N + = 20 – 5 = 15, Usys = 15/20 = 0.75. Абсолютная погрешность этого результата по сравнению с аналитическим методом равна = | Usys - Vsys | = 0.75 - 0.7472 = 0.0028. Относительная погрешность = ( / Vsys ) 100% = 0.0028/0.7472 = 0.4%. Дополнительные замечания о методе Монте-Карло 1. Известно, что точность оценки искомых характеристик тем выше, чем больше число испытаний. Для того чтобы выбрать величину N для конкретных испытаний, задаются вероятностью (доверительной) получения правильного решения, обычно принимаемого равной 0.997 , что соответствует диапазону ± 3σ для нормального распределения, где σ = √D - с.к.о. исследуемой случайной величины. Тогда необходимое число испытаний определится из формулы δ' = (9) где δ' – заданная погрешность определения искомой величины. Для получения более точного результата число испытаний согласно (9), должно быть равно N = (0.675· σ / δ' )2 Допустим, мы хотим иметь погрешность на уровне 0.001 (0.1%), т.е. быть уверенными что при решении данной задачи методом статистического моделирования значение Usys будет находится в диапазоне 0.7472 . ( 1 ± 0.001) = [0.7464, 0.7479] . Исходя из правила «три сигма», зададим величину σ как крайний возможный случай: σ = ( 1- Vsys ) / 3 = (1-0.7472)/3 = 0.084 . Тогда требуемое число испытаний будет равно N = (0.675·0.084/0.001) = 3215. 2. В приведенных выше расчетах принята упрощенная модель статистических испытаний с использованием расчетных вероятностей безотказной работы подстанций, а не отдельных элементов системы, с целью сокращения размерности задачи. Не учитывались также вероятности одновременного отказа нескольких элементов, что необходимо для получения правдоподобных результатов. 3. Датчик случайных чисел с равномерным распределением используется при отсутствии каких-либо сведений о фактическом законе распределения. Достоинство равномерного распределения – простота применения, так как нет необходимости в определении его параметров. Но оценки, полученные в численных экспериментах, оказываются «пессимистическими», если реальный закон существенно отличается от равномерного. Кроме того, датчики случайных чисел с равномерным распределением плохо «работают» при очень малых или очень больших значениях вероятности. Поэтому при выборе модели статистических испытаний большое внимание уделяется обоснованию использования того или иного закона распределения. Таблица 1 Анализ надежности методом Монте-Карло Блок ВБР V b Блок ВБР V b А 0,898 0,144601 1 А 0,898 0,722673 1 Б 0,898 0,338975 1 Б 0,898 0,580761 1 В 0,8 0,285878 1 В 0,8 0,862889 0 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 1 SYS=(А+Б)*В 0 А 0,898 0,284892 1 А 0,898 0,531509 1 Б 0,898 0,133744 1 Б 0,898 0,157723 1 В 0,8 0,710715 1 В 0,8 0,206039 1 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 1 SYS=(А+Б)*В 1 А 0,898 0,621382 1 А 0,898 0,344317 1 Б 0,898 0,803256 1 Б 0,898 0,752622 1 В 0,8 0,99176 0 В 0,8 0,714726 1 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 0 SYS=(А+Б)*В 1 А 0,898 0,189668 1 А 0,898 0,043997 1 Б 0,898 0,943037 1 Б 0,898 0,305982 1 В 0,8 0,774708 1 В 0,8 0,26292 1 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 1 SYS=(А+Б)*В 1 А 0,898 0,647489 1 А 0,898 0,523631 1 Б 0,898 0,196592 1 Б 0,898 0,788625 1 В 0,8 0,937071 0 В 0,8 0,295981 1 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 0 SYS=(А+Б)*В 1 Фрагменты модифицированной таблицы: А 0,898 0,126677 1 А 0,898 0,906062 0 Б 0,898 0,305332 1 Б 0,898 0,644128 1 В 0,8 0,878459 0 В 0,8 0,196328 1 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 0 SYS=(А+Б)*В 1 А 0,898 0,308921 1 А 0,898 0,804801 1 Б 0,898 0,823393 1 Б 0,898 0,967697 0 В 0,8 0,749413 1 В 0,8 0,964051 0 (А+Б) ИСТИНА 1 (А+Б) ИСТИНА 1 SYS=(А+Б)*В 1 SYS=(А+Б)*В 0 Заключение В курсовой работе был произведён расчёт показателей надежности простейшей системы электроснабжения двумя вероятностными методами: аналитическим и методом статистических испытаний. Абсолютная погрешность результата, полученного методом Монте-Карло по сравнению с аналитическим методом равна 0.0028. Относительная погрешность составила 0.4%. Также была проведена оценка количества испытаний. Литература 1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: учебник для ВУЗов ж\д транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин.- М: УМК МПС России, 2000. - 512с. 2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем: учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов.- М.: Высшая школа, 1984. – 256с. 3. Ковалев Г.Ф. Надежность и диагностика технических систем: задание на контрольную работу №2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности «Электроснабжение железнодорожного транспорта». – Иркутск: ИРИИТ, СЭИ СО РАН, 2000. -15с. 4. Дубицкий М.А. Надежность систем энергоснабжения: методическая разработка с заданием на контрольную работу. – Иркутск: ИрИИТ, ИПИ, СЭИ СО РАН, 1990. -34с. 5. Пышкин А.А. Надежность систем электроснабжения электрических железных дорог. – Екатеринбург: УЭМИИТ, 1993. - 120 с. 6. Шаманов В.И. Надежность систем железнодорожной автоматики и телемеханики: учебное пособие. Иркутск: ИрИИТ, 1999. 223с. 7. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1988. – 224с. 8. Маквардт Г.Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения.- М.: Транспорт, 1972. - 224с.