Математические методы исследования экономики системы массового обслуживания Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Кафедра "Высшей математики" Расчётно-графическая работа по теме: Математические методы исследования экономики. (системы массового обслуживания) Выполнила: ХХХХХХХХ. Проверил: ХХХХХХ Дата Студент групп ХХХХ Оценка: Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу. Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина). При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики. Визитная карточка организации Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО). Наименование организации: Род деятельности: продуктовый магазин Место расположения: Время работы: с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных Необходимые данные для анализа системы: Рассматриваемый промежуток времени: Рассматриваемое количество обслуживающих приборов: 2 Рассматриваемые дни: дни с понедельника по воскресенье включительно. Рассматриваемый промежуток времени: 17.00 – 19.00 (период наибольшей загруженности системы) Рассматриваемая единица времени: t = 7,1 минут X1 , X2 , …, Xn – число поступивших клиентов в единицу времени. Y1 , Y2 , …, Yn – количество обслуженных клиентов в течение единицы времени. X Y 10 6 7 4 5 4 8 6 7 5 5 4 6 5 8 6 7 4 5 4 5 4 8 6 4 4 7 6 5 5 9 6 5 4 7 6 8 5 5 5 8 6 5 5 7 5 8 6 6 4 6 4 8 6 7 6 5 5 7 6 Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается. Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида: <М│М│2> (с очередью). где: <М│ - функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока); │М│ - функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания); │2> – число приборов в системе; (с очередью) – дисциплина обслуживания. λк = λ μк = λк = 6,6 μк = Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона. Пусть X (t ) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками: Где λ k – интенсивность поступления клиентов : - среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени. µ k – интенсивность обслуживания клиентов : - характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени. Следовательно: - интенсивность поступления клиентов в систему. - интенсивность обслуживания клиентов. Определим основные характеристики системы: Определим коэффициент загруженности системы : , следовательно, условие стационарности выполняется, так как В условиях существования стационарного режима S = 3.3 - доля времени простоя (1.29k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2 Pk = (1.29k / 2*2k-2 ) * 0.23, к > 2 - вероятность того, что в системе k клиентов Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,292 /( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545 - вероятность, что все приборы заняты Eq = Рз / µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени, т.е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди Ev = Eq +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени. т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе Ex = λ* Ev = 6,6*0,229 = 1,51- среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут). Для того чтобы система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: P0 ≤ 0,1 Для рассматриваемой системы P0 = 0,23 > 0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери. Следующее условие, которое должно выполняться: , То есть должно выполняться: Eq ≤ 0,392, а в нашем случае Eq = 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется. Рассчитаем значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы. ; ; ; ; µ ( 3,3; 4,02] Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство µ ( -оо;4,02][4,02;+оо) и посмотрим пересечение интервалов значения , при фиксированном значении . Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02. Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02. р = 6,6/4,02 = 1,64 S = 15.1 P0 = 1/1+S = 0.061 доля временипростоя (1.64k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2 Pk = (1.64k / 2*2k-2 ) * 0.061, к > 2 - вероятность того, что в системе k клиентов Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,642 /( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46 - вероятность, что все приборы заняты Eq = Рз / µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени т.е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди Ev = Eq +1/µ = 0.32 * ¼,02 = 0.569 единицы времени. т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе Ex = λ* Ev = 6,6*0,569 = 3,75 - среднее число клиентов в системе. Теперь поставленные условия выполняются: P0 ≤ 0,1 ( Р0 = 0,061) ( Eq =0,32< 2/4,02; Eq = 0,32<0,497 Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия. Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.