Распределение случайной величины Эмпирические линии регрессии Контрольная работа № 1 Задача 1 Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке. Решение: Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1 , В2 и В3 . Соответственно Р(В1 ) = , Р(В2 ) = , Р(В3 ) = . Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1 (А) = 0,02, аналогично РВ2 (А) = 0,03 и РВ3 (А) = 0,04. По формуле полной вероятности Р(А) = По формуле Бейеса Ответ: РА (В3 ) = 0,1818 Задача 2 Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку. Решение: Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки Р = . Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар. Вычислим Р5 (3) + Р5 (4) + Р5 (5). Pn (k) = , где р = 0,3 и q = 0,7. Р5 (3) = 0,1323 Р5 (4) = 0,0284 Р5 (5) = 0,0024 Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631 Ответ: 0,1631 Задача 3 Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно. Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9. Pn (k) = , где = Р2000 (210) = б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190. Pn (k1 ;k2 ) = F(x’’) - F(x’), х’’ = . х’ = . F(x’’) = F(3,73) = 0,4999. F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764. P2000 (190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/ Ответ: а) Р2000 (210) = 0,0224, б) Р2000 (190;250) = 0,7763 Задача 4 Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид: Х: xi 0 1 2 pi 0,3 ? 0,2 Y: yi 1 2 pi 0,4 ? Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2). Составить закон распределения случайной величины Z = X*Y. Проверить выполнение свойства математического ожидания: M(Z) = M(X)*M(Y) Решение: Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5 Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6 Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y xj 0 1 2 yi pj pi 0,3 0,5 0,2 1 0,4 0 0,12 1 0,2 2 0,08 2 0,6 0 0,18 20,3 4 0,12 zi 0 1 2 4 pi 0,3 0,2 0,38 0,12 Spi = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1 M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44 M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9 M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6 M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44. Ответ: Zi 0 1 2 4 Pi 0,3 0,2 0,38 0,12 Задача 5 Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид: 0 при х < -1, F(x) = (х + 1)2 при -1 £ х £ 0, 1 при х > 0. Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие . Решение: Найдем плотность распределения 0 при х < -1, f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х £ 0, 1 при х > 0. М(х) = - математическое ожидание. Р(х £ ) = Р( -1 £ х < ) = F( ) – F( -1) = Ответ: М(х) = и Р(х < ) = Контрольная работа № 4 Задача 1 При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту Возраст (лет) Менее 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Более 70 Итого Количество пользователей (чел.) 8 17 31 40 32 15 7 150 Найти: а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине); б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет; в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет. Решение: Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице: i [xi ;xi+1 ] xi ui ni ui ;ni u2 i ;ni ui +1 (ui + 1)ni 1 10 – 20 15 -3 8 -24 72 -2 32 2 20 – 30 25 -2 17 -34 68 -1 17 3 30 – 40 35 -1 31 -31 31 0 0 4 40 – 50 45 0 40 0 0 1 40 5 50 – 60 55 1 32 32 32 2 128 6 60 – 70 65 2 15 30 60 3 135 7 70 – 80 75 3 7 21 63 4 112 S 315 0 150 -6 326 7 464 a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки Искомая доверительная вероятность б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t = 2,17 Предельная ошибка выборки для доли D = 2,17*0,0376 = 0,08156 Искомый доверительный интервал 0,4733 – 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156 0,3918 £ р £ 0,5549 в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t = 2,5 человек. Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)max = 0,25 человек. Ответ: а) ; б) 0,3918 £ р £ 0,5549 ; в) 190 человек Задача 2 По данным задачи 1, используя критерий c2 – Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую. Решение: Выдвигается гипотеза Н0 : случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d2 = 217,17. Для расчета рi используем функцию Лапласа Дальнейшие расчеты покажем в таблице i [xi ;xi+1 ] ni pi npi (ni – npi ) 1 10 – 20 8 0,0582 8,7225 0,522 0,0598 2 20 – 30 17 0,1183 17,738 0,5439 0,0307 3 30 – 40 31 0,2071 31,065 0,0042 0,0001 4 40 – 50 40 0,2472 37,073 8,5703 0,2312 5 50 – 60 32 0,2034 30,51 2,2201 0,0728 6 60 – 70 15 0,1099 16,478 2,183 0,1325 7 70 – 80 7 0,0517 7,755 0,57 0,0735 S 150 0,9956 149,34 0,6006 Фактическое значение c2 = 0,6006 Соотносим критическое значение c2 0,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4. Так как c2 < c2 0,05;4 , гипотеза Н0 согласуется с опытными данными. Выполним построение: Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными. Задача 3 Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице: у х 1,25 1,5 1,75 2,0 2,25 Итого 80 – 130 1 2 3 6 130 – 180 1 4 3 8 180 – 230 4 8 3 1 16 230 – 280 2 5 4 11 280 – 330 3 4 2 9 Итого: 5 3 16 9 7 50 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние xj и yi и построить эмпирические линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб. Решение: 1) Составим корреляционную таблицу х у xi 1,25 1,5 1,75 2 2,25 ni уi 80 – 130 105 1 2 3 6 2,0833 130 – 180 155 1 4 3 8 2,0625 180 – 230 205 4 8 3 1 16 1,7656 230 – 280 255 2 5 4 11 1,5456 280 – 330 305 3 4 2 9 1,4722 nj 5 13 16 9 7 50 xj 285 255 220,63 160,56 140,71 Построим эмпирические линии регрессии 2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость; а) Вычислим среднее значение Найдем уравнение ух = byx (x – x) + y, где byx = ух = - 0,0036(х – 214) + 1,75 ух = - 0,0036х + 2,5105 ху - х = byx (у – у), где bху = ху = - 157,14(х – 1,75) + 214 ху = - 157,14х + 489 б) Коэффициент корреляции связь обратная и тесная; Статистика критерия При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0. в) Используя ху = - 157,14у + 489 х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14 Ответ: а) ух = - 0,0036х + 2,5105; ху = - 157,14х + 489. б) k = - 0,7473.