Формулы шпаргалка 1. 2. Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A. Limf(x) =A x -> x 0 2 . Теоремы о пределах: · Limc=c,где с-это число · Lim(f(x)+-g(x))=lim f(x)+-lim g(x) · Lim(f(x)*g(x))=lim f(x)*lim g(x) · Lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x),где g(x)<>0 · Lim(c*f(x))=c*limf(x) · Lim(f(x)g(x) )=(lim f(x))lim g(x) · Lim(f(g(x)))=f(lim g(x)) 3 .Методы нахождения пределов: · непосредственное вычисление пределов (вместо ч подставляем ч0 и считаем что получится) · раскрытие неопределенностей вида 0/0 (числитель и знаменатель раскладывается на множители а затем сокращают дробь) · раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ (числитель и знаменатель делим на x в старшей степени) · применение замечательных пределов. Limsinx/x=1- первый зам. Предел lim(1+x)1/ x =e; lim(1+1/x)x =e – 2-ой зам.предел · применение эквивалентных бесконечно малых ф-ий sinx ~x tgx~x arcsinx~x arctgx~x X - > 0 ln(1+x) ~x ex -1~x ax -1~x*lna 4. Замечательный пределы: Limsinx/x=1 -первый зам. Предел lim(1+x)1/ x =e; lim(1+1/x)x =e - 2 зам. Предел 5. эквивалентные бесконечно малые ф-ии sinx ~x tgx~x arcsinx~x arctgx~x X - > 0 ln(1+x) ~x ex -1~x ax -1~x*lna 6.Ф-ия f ( x ) называется непрерывной в точке x 0 если 1)ф-ия определена в точке x0 2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0 3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0 Ф-ия f(x) называется непрерывной на промежутке если она непрерывна в каждой точке этого прмежутка. 7. Условия непрерывности ф-ии в точке 1)ф-ия определена в точке x0 2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0 3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0 9. Точки разрыва: Если хотябы одно из 3 условий непрерывности ф-ии в точке не выполняются, то ф-ия называется разрывной в точке x0, а сама точка x0 называется точкой разрыва Типы точек разрыва: 1)если ф-ия f(x) имеет предел в точке ч0 неравный значению ф-ии в точке, то x0-называется точкой устранимого разрыва. Limf(x) <>f(x0) x - > x 0 2) если сущ-ют односторонние пределы ф-ии f(x) в точке x0, но они различные, то точка x0 называется точкой разрыва первого рода limf(x)<>limf(x) x → x 0-0 x → x 0+0 3)если хотябы один из односторонних пределов ф-ий f(x) в точке x0 равен бесконечности то точку x0 называют точкой разрыва 2 рода. Limf(x)= ∞ или limf(x)= ∞ x → x 0-0 x → x 0+0 11. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к 0. Правила дифференцирования: (cf(x))’=c*f’(x); (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) (f(x)-g(x))’=f’(x)-g’(x) (f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+g’(x)+f(x) (F(x)/g(x))’= f’(x)*g(x)-g’(x)+f(x)/g2(x) (F(g(x)))’=f’(g)*g(x) 12. Таблица производных: (с)’=0 (xα )’ = α×xα-1 (√x)’=1/2√x (x)’=1 (1/x)’=-1/x2 (ax )’ = ax × ln a (ex )’= ex (lnx)’=1/x (loga x )’= 1/(x×ln a) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1/cos² x (ctg x)’ = - 1/sin²x (arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²) (arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²) (arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²) (arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²) 13. Вторая производная – производная от первой производной. 14.Дифференциал dy ф-ии y=f(x) называется произведения производной этой ф-ии на приращение независимого аргумента x. Dy=f’(x)*∆x Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента. 15.для приближенных вычислений дифференциалом используется формула: f(x0+∆x)≈f(x0)+f’(x0) *∆x 16 Нахождение монотонности: 1) найти 1 производ. 2)найти критическую точку 1 рода-это внутрен точки d(y) d кот. Первая произ равна 0 или не сущ 3) разбиваем D(y) критич точками 1 пода на промежутке моннотоности.Находим знак первой производ на каждом промежутке, если y’>0,то ф-ия возрастает,если y’<0 , то ф-ия убывает 4)если при переходе через точку ч0 – производ сменила знак с+ на- то x0 точка максимума,если с- на + то x0 точка мин. 17.экстемумы - это значения в точках мин и макс. 18.Выпуклось: Кривая наз. выпуклой вверх в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведённой в этой точке. Вогнутость: Кривая наз. вогнутой вниз в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена выше касательной, проведённой в этой точке. Алгоритм нахождения промежутков выпуклости: · найти вторую производную · найти критические точки 2-го рода(внутренние точки области определения, в которых 2-ая производная равна 0 или не сущ.) · разбиваем область определения критическими точками 2-го рода на промежутки выпуклости · находим знак 2-ой производной на каждом промежутке, если y’’>0, то график ф-ии вверх, если y’’<0, то график ф-ии вниз. · Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба · Найти значение ф-ии в точке прегиба 19.Точки прегиба Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба 20\21. асимптоты: Если точка (y;x) непрерывно перемещается по кривой так, что хотя бы одна координата точки стремится к бесконечности и при этом расстояние от точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая наз.асимптотой. Виды асимптот: · Вертикальная асим., находят лишь тогда, когда есть точки разрыва области определения. Limf(x)= ∞, где a-точка разрыва D(y) x - > a · Горизонтальная асим. Limf(x)= b, где b-число,b<>∞ x - > ∞ · Наклонная асим y=kx+b k=lim f(x)/x, где k-число,k<>∞, k<>0, x - > ∞ b=lim(P(x)-kx, где b-число,b<>∞ x - > ∞ 22. Схема исследования ф-ии: 1)D(y),ф-ия дробная, то знаменатель <>0 2) четность · D(y) симметрично относительно 0 Y(-x)=y(x) => ф-ия четная Y(-x)=-y(x) => ф-ия нечетная или ф-ия общего вида 3)пресечение с осями координат · С осью ОХ:y=0 · С осью OY:х=0 4)асимптоты 5)монотонность 6)выпуклость точки перегиба 7)график(пробный точки) 8)E(x) 23. первообразная – на промежутке, если для всех x этого промежутка выполняется равенство f’(x)=f(x). Основное св-во: ф-ия имеет бесконечно много первообразной, которые отличаются друг от друга на постоянную c. 24.Интеграл – множество всех первообразных на промежутке. Св-ва: 1)(∫f(x)*d(x))’=f(x) 2)∫c*f(x)*dx=c∫f(x)dx 3)∫(f(x)+-g(x)dx=∫f(x)dx-+∫g(x)dx 25. Таблица интегрлов: ò xn dx = xn+1/(n+1) + c ò ax dx = ax/ln a + c ò ex dx = ex + c ò cos x dx = sin x + cos ò sin x dx = - cos x + c ò 1/x dx = ln|x| + c ò 1/cos² x = tg x + c ò 1/sin² x = - ctg x + c ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c ò 1/1+ x² dx = arctg x + c ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c 26 .Методы нахождения неопределенных интегралов: 1)непосред. Интегрирования – при котором интегралы сводятся к табличным путем первообразной, применения к ним основных св-в интеграла. 2)подстановки – некоторое выражение заменяется новой переменной для того чтобы интеграл относительно новой переменной стал табличным. В результате необходимо вернуться к первоначальным переменным. 3)интегрирование по частям: Формула: òu*dυ=uυ-òυ*du · В интегралах вида: òP(x)*eax *dx òP(x)*cosax*dx òP(x)*sinaxdx, где P(x)-многочлен от x,a-любое число Полагают: u=P(x) dυ=всё остальное · В интегралах вида: òP(x)* ln(ax)dx òP(x)*arcsin(ax)dx òP(x)*arcos(ax)dx òP(x)*arctg(ax)dx òP(x)*arcctg(ax)dx Полагают: dυ= P(x) dx u- всё остальное · В интегралах вида: ò eax *cosbx dx ò eax *sinbx dx Полагают: u- eax dυ=всё остальное 27.формула Ньютона-Лейбница - эта формула применяется для точного вычесления опред. интеграла: òf(x)dx=F(x)│=F(b)-F(a) 28. Методы вычисления определённого интеграла: · Табличное интегрирование · Метод подстановки: в результате возвращаться к первоначальной переменной не нужно потому что перечисляются новые пределы интегрирования · По частям 29. метод прямоугольников для приближённого вычисления интегралов : · òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*(y0 +y1 …yn-1 ) · |δn |=< M1 *(b-a)2 /2n.,где M1 -макс|f’(x)| 30.Метод трапеций: · òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*( y0 +2y1 +2y2 …2yn-1 + yn) · |δn |=<M2 *(b-a)3 /12n2 . где M1 -макс|f’(x)| 31.Применение опред. Интегралов в физике: · Нахождение пути при прямолинейном движении: S=òV(t)*dt, где V(t) – закон изменения скорости, t ε[a;b] · Вычисление работы, силы, произведённой при прямолинейном движении тела A=òF(x)dx, где F(x) – закон изменения силы, a и b – крайние положения тела. 32.Применение определенных интегралов в геометрии: · Площадь криволинейной трапеции: S=òF(x)*dx · S фигуры ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f(x) y=g(x) и прямыми x=ax=b: S=ò(f(x)-g(x))dx · Длина дуги плоской кривой: L= òÖ1+(f’(x)2 dx, где y=f(x) – уравнение кривой x ε[a;b]