Интересные примеры в метрических пространствах Интересные примеры в метрических пространствах: 1. В n - мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба. 1. Единичная сфера S в пространстве l 2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида: е 1 =(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...), е 2 =(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...), …………………………, е n =(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...), …………………………. Расстояние между любыми двумя точками е n и е м (n ¹ m ) равно Ö2. Поэтому последовательность {е i } и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2. 2. Рассмотрим в l 2 множество П точек x=(x1 , x2 , ¼, xn , ...), удовлетворяющих условиям: | x1 |£1, | x2 |£1/2, ¼,| xn |£1/2n -1 , ... Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l 2 . Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом. Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 <e/2. Каждой точке x=(x1 , x2 , ¼, xn , ...) из П сопоставим точку x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...) из того же множества. При этом r(x,x*)= £ <1/2n -1 <e/2. Множество П* точек вида x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n -мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П . Докажем это. Доказательство : для "e>0, выберем n так, что 1/2n -1 <e/2. "xÎП : x=(x1 , x2 , ¼, xn , ...) сопоставим x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...) и x*ÎП . При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2. Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e. Множество П* содержит точки вида x*=(x1 , x2 , ¼, xn , 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П