Вычисление случайных величин Задача №1. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC: где S – площадь треугольника ABC. Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми? Решение. Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия или следует, что Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y): Вычислим плотность составляющей X: при , откуда плотность составляющей X– Вычислим плотность составляющей Y: при , при , Поэтому плотность составляющей Y – Найдем условную плотность составляющей X: при , случайные величины X и Y зависимы. Найдем математическое ожидание случайной величины X: Найдем дисперсию случайной величины X: Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X: Найдем математическое ожидание случайной величины Y: Найдем дисперсию случайной величины Y: Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y: Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y): Тогда ковариация: , а значит и коэффициент корреляции Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные. Задача №2 Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей: Y X 3 6 8 9 -0,2 0,035 0,029 0,048 0,049 0,1 0,083 0,107 0,093 0,106 0,3 0,095 0,118 0,129 0,108 Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y. Решение. Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X: X 3 6 8 9 0,213 0,254 0,270 0,263 Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1. Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y: Y -0,2 0,1 0,3 0,161 0,389 0,450 Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1. Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y. 1. Математическое ожидание случайной величины X: 2. Математическое ожидание случайной величины Y: 3. Дисперсия случайной величины X: 4. Дисперсия случайной величины Y: 5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X: 6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y: Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X): X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X) 0,213 0,254 0,270 0,263 Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y): Y-M(Y) -0,2-M(Y) 0,1-M(Y) 0,3-M(Y) 0,161 0,389 0,450 Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]: [X-M(X)][Y-M(Y)] 1,260873 0,153873 P 0,035 0,083 -0,584127 0,235773 0,028773 -0,109227 -0,447627 0,095 0,029 0,107 0,118 0,048 -0,054627 0,207373 -0,789327 -0,096327 0,365673 0,093 0,129 0,049 0,106 0,108 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Найдем ковариацию: Найдем коэффициент корреляции: Ответ: -0,028. Задача №3 Рост, см (X) Вес, кг (Y) 22,5-25,5 25,5-28,5 28,5-31,5 31,5-34,5 34,5-37,5 117,5-122,5 1 3 - - - 122,5-127,5 - 2 6 1 - 127,5-132,5 - 1 5 5 - 132,5-137,5 - 1 6 7 2 137,5-142,5 - - 1 4 2 142,5-147,5 - - - 1 1 147,5-152,5 - - - - 1 Результаты обследования 50 учеников: По данным таблицы требуется: - написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y; - вычертить их графики и определить угол между ними; - по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y. Решение. Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу: Для роста X получим: 1. Выборочная средняя – 2. Дисперсия выборочная исправленная – Для веса Y получим: 1. Выборочная средняя - 2. Дисперсия выборочная исправленная – Найдем выборочный коэффициент корреляции: Найдем значения коэффициентов регрессии: Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид: Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид: - угол между прямыми регрессии. Следовательно, связь между X и Y не тесная.