Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией Министерство образования Российской Федерации Башкирский государственный педагогический университет Кафедра математического анализа Дипломная квалификационная работа Автор: Гарипов Ильгиз. Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией. К защите допущен ____________ Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г. Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т. Уфа 2001 Содержание Стр. Введение 3 § 1 Свойства функции . 4 § 2 Свойства функции и ее производных. 5 2.1 5 2.2 6 2.3 где a>0 7 2.4 9 § 3 Поведение 11 3.1 11 3.2 11 3.3 12 3.4 13 § 4 Поведение 14 4.1 14 4.2 15 4.3 15 4.4 16 Заключение 17 Литература 18 Введение Пусть произвольная функция, определенная на , и при Введем в рассмотрение функцию с помощью следующего равенства: (1) Назовем эту функцию усреднением функции Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить § 2 Свойства функции . 1. Если , при , то при Доказательство: , , " N >0, : 2. (2) 3. (3) Дифференцируя формулу (1) по dx получаем (4) (5) § 2 Свойства функции и ее производных. I) Рассмотрим вид функции для случаев когда : 2.1 2. 2 2 .3 где a>0; Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно. Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0. Доказательство: Рассматривая второй интеграл, мы получаем: Рассматривая первый интеграл, получаем: Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при Следовательно: 2.4. Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции. Рассматривая полученное выражение можно заметить что становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части как только . Ограничение №1 В тоже время Становится бесконечно малым как только . Ограничение №2 Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что должен быть очень малым при то есть так как ограниченная функция, к 0 должен стремится . Ограничение №3 Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем: Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции . § 3 Рассмотрим поведение функции для случаев: 3.1) 3. 2) 3.3) Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе: = = рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции (*) Вычислим интеграл в знаменателе: = (**) Учитывая (*)и (**) получаем Следовательно, по формуле (2) получаем 3.4 Отдельно вычислим числитель и знаменатель: По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению: Вычислим знаменатель: Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем: По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при Следовательно, знаменатель: §4. Рассмотрим поведение второй производной Для облегчения вычислений введем обозначения: При этом формула для примет вид (6) 4.1 Виду того, что d( x) очень мал то будет несравним с d( x) т.е. 4.2 используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению: (Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2). Отсюда следует что 4.3 Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что Возвращаясь к п. 3.3 находим: Вычисляя по формуле 6, получаем: и 4.4 и Заключение В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: