Прогнозирование урожайности различными методами Содержание 1. Задание 2. Аналитическое выравнивание 3. Метод экспоненциального сглаживания 4. Метод скользящих средних 5. Выравнивание при помощи рядов Фурье Выводы 1. Задание По имеющимся исходным данным урожайности озимой пшеницы в Волгоградский области провести расчеты прогнозных значений на последующие шесть лет для выявления закономерных или случайных изменений. Исходные данные урожайности: 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 3,5 5,2 2,2 3,6 7,1 6,9 4,1 5,3 10,1 4,8 7,7 16,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 9,8 14,5 13,7 19,0 5,0 12,0 11,3 17,5 13,1 17,9 9,6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2. Аналитическое выравнивание Выберем в качестве функций регрессии – линейную, параболическую, гиперболическую и показательную: . Гиперболическую и показательную можно линеаризовать и применить МНК к этим функциям как к линейным. Для гиперболической функции введем новую переменную: . Тогда получим: , где . Для показательной функции проведем следующие преобразования. Прологарифмируем обе части уравнения: . Сделаем замены: , , . Получим: , откуда найдем: , , . Применим ПО MS Excel 2003 и Stata 7.0. Посчитаем коэффициент корреляции: Коэффициент корреляции значим. Построим линейную регрессию Регрессионная статистика Множественный R 0,717687 R-квадрат 0,515074 Нормированный R-квадрат 0,491982 Стандартная ошибка 3,693991 Наблюдения 23 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 304,3725 304,3725 22,30559 0,000116 Остаток 21 286,557 13,64557 Итого 22 590,9296 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 3,014625 1,592152 1,893427 0,072162 -0,29644 6,325686 Переменная X 1 0,548419 0,11612 4,722879 0,000116 0,306935 0,789903 Регрессия для гиперболической функции: Регрессия для параболической функции: Регрессия для показательной функции: Как видно из этих данных, коэффициент детерминации у регрессии для гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей. А константа и коэффициент при переменной в модели параболической регрессии не значимы согласно t-критерию Стьюдента. Коэффициенты детерминации для моделей линейной и показательной регрессий примерно одиноковы, причем R-квадрат больше у показательной регрессии. Сравним эти 2 модели по другим показателям. Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и информационные критерии Акейка и Шварца: , , Чем меньше значение информационных критериев, тем лучше модель. Итак, для модели линейной регрессии получим: AIC=5,131843277 BIC=2,658769213 σ=3,694 Для модели регрессии показательной функции имеем: AIC= 5,477785725 BIC= 2,831740437 σ=4,028 Все 3 показателя лучше в первом случае. Применим модель линейной регрессии для аналитического выравнивания исходного ряда. Модель такова: у=3,01+0,55t; Значения уровней ряда, полученных по модели, и остатков представлены в следующей таблице: Наблюдение Предсказанное Y Остатки 1 3,563043478 -0,063043478 2 4,111462451 1,088537549 3 4,659881423 -2,459881423 4 5,208300395 -1,608300395 5 5,756719368 1,343280632 6 6,30513834 0,59486166 7 6,853557312 -2,753557312 8 7,401976285 -2,101976285 9 7,950395257 2,149604743 10 8,498814229 -3,698814229 11 9,047233202 -1,347233202 12 9,595652174 7,204347826 13 10,14407115 -0,344071146 14 10,69249012 3,807509881 15 11,24090909 2,459090909 16 11,78932806 7,210671937 17 12,33774704 -7,337747036 18 12,88616601 -0,886166008 19 13,43458498 -2,13458498 20 13,98300395 3,516996047 21 14,53142292 -1,431422925 22 15,0798419 2,820158103 23 15,62826087 -6,02826087 Спрогнозируем урожайность озимой пшеницы на последующие 6 лет Прогнозные значения t y 24 16,17667984 25 16,72509881 26 17,27351779 27 17,82193676 28 18,37035573 29 18,9187747 Из графика видно, что урожайность с каждым последующим годом будет возрастать и достигнет через шесть лет значения практически в 2 раза большего, чем в 1969 году. Этот результат достигнут в результате существенного роста урожайности зерновых культур. Проверим наличие автокорреляции в данном динамическом ряду. Для этого составим следующие таблицы: Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка Год Фактические уровни y(t) Уровни, сдвинутые на год y(t-1) y(t)y(t-1) y(t)^2 1 3,5 9,6 33,6 12,25 2 5,2 3,5 18,2 27,04 3 2,2 5,2 11,44 4,84 4 3,6 2,2 7,92 12,96 5 7,1 3,6 25,56 50,41 6 6,9 7,1 48,99 47,61 7 4,1 6,9 28,29 16,81 8 5,3 4,1 21,73 28,09 9 10,1 5,3 53,53 102,01 10 4,8 10,1 48,48 23,04 11 7,7 4,8 36,96 59,29 12 16,8 7,7 129,36 282,24 13 9,8 16,8 164,64 96,04 14 14,5 9,8 142,1 210,25 15 13,7 14,5 198,65 187,69 16 19 13,7 260,3 361 17 5 19 95 25 18 12 5 60 144 19 11,3 12 135,6 127,69 20 17,5 11,3 197,75 306,25 21 13,1 17,5 229,25 171,61 22 17,9 13,1 234,49 320,41 23 9,6 17,9 171,84 92,16 Сумма 220,7 220,7 2353,68 2708,69 Средняя 9,595652174 102,333913 117,76913 Дисперсия 25,69258979 Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,95) Коэффициент автокорреляции 0,399234662 Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка Год Фактические уровни y(t) Уровни, сдвинутые на 2 года y(t-2) y(t)y(t-2) y(t)^2 1 3,5 17,9 62,65 12,25 2 5,2 9,6 49,92 27,04 3 2,2 3,5 7,7 4,84 4 3,6 5,2 18,72 12,96 5 7,1 2,2 15,62 50,41 6 6,9 3,6 24,84 47,61 7 4,1 7,1 29,11 16,81 8 5,3 6,9 36,57 28,09 9 10,1 4,1 41,41 102,01 10 4,8 5,3 25,44 23,04 11 7,7 10,1 77,77 59,29 12 16,8 4,8 80,64 282,24 13 9,8 7,7 75,46 96,04 14 14,5 16,8 243,6 210,25 15 13,7 9,8 134,26 187,69 16 19 14,5 275,5 361 17 5 13,7 68,5 25 18 12 19 228 144 19 11,3 5 56,5 127,69 20 17,5 12 210 306,25 21 13,1 11,3 148,03 171,61 22 17,9 17,5 313,25 320,41 23 9,6 13,1 125,76 92,16 Сумма 220,7 220,7 2349,25 2708,69 Средняя 9,595652174 102,141304 117,76913 Дисперсия 25,69258979 Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,99) Коэффициент автокорреляции 0,391737999 Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка Год Фактические уровни y(t) Уровни, сдвинутые на 3 года y(t-3) y(t)y(t-3) y(t)^2 1 3,5 13,1 45,85 12,25 2 5,2 17,9 93,08 27,04 3 2,2 9,6 21,12 4,84 4 3,6 3,5 12,6 12,96 5 7,1 5,2 36,92 50,41 6 6,9 2,2 15,18 47,61 7 4,1 3,6 14,76 16,81 8 5,3 7,1 37,63 28,09 9 10,1 6,9 69,69 102,01 10 4,8 4,1 19,68 23,04 11 7,7 5,3 40,81 59,29 12 16,8 10,1 169,68 282,24 13 9,8 4,8 47,04 96,04 14 14,5 7,7 111,65 210,25 15 13,7 16,8 230,16 187,69 16 19 9,8 186,2 361 17 5 14,5 72,5 25 18 12 13,7 164,4 144 19 11,3 19 214,7 127,69 20 17,5 5 87,5 306,25 21 13,1 12 157,2 171,61 22 17,9 11,3 202,27 320,41 23 9,6 17,5 168 92,16 Сумма 220,7 220,7 2218,62 2708,69 Средняя 9,595652174 96,4617391 117,76913 Дисперсия 25,69258979 Автокорреляция отсутствует Коэффициент автокорреляции 0,170679504 Как видно из таблиц, обнаружилась автокорреляция только первого и второго порядков. Это говорит о том, что значительное влияние на урожайность озимой пшеницы в данном году оказывает урожайность двух предыдущих лет. 3. Метод экспоненциального сглаживания Выберем теперь форму зависимости (линейную или параболическую) методом экспоненциального сглаживания. Рассчитаем начальные условия экспоненциального сглаживания для линейной тенденции: , где – параметр сглаживания; . Выберем =0,3 На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Формулы расчета оценок коэффициентов: Формулы расчета характеристик сглаживания динамического ряда: Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по линейной форме экспоненциального сглаживания ( ) и квадратов ошибок сведем в таблицу: S1 S2 a0 a1 3,5 3,692 4,2548 3,1292 -0,3752 2,754 0,556516 5,2 4,2952 4,27096 4,31944 0,01616 4,3356 0,74718736 2,2 3,45712 3,945424 2,968816 -0,325536 2,64328 0,196497158 3,6 3,514272 3,772963 3,255581 -0,1724608 3,08312 0,267164934 7,1 4,9485632 4,243203 5,653923 0,47024 6,1241632 0,95225746 6,9 5,7291379 4,837577 6,620699 0,594373888 7,21507264 0,099270768 4,1 5,0774828 4,933539 5,221426 0,095962266 5,31738842 1,482034555 5,3 5,1664897 5,026719 5,30626 0,093180119 5,39943995 0,009888303 10,1 7,1398938 5,871989 8,407798 0,845269727 9,25306811 0,717293628 4,8 6,2039363 6,004768 6,403105 0,13277883 6,53588335 3,013291001 7,7 6,8023618 6,323806 7,280918 0,319037494 7,5999555 0,010008902 16,8 10,801417 8,11485 13,48798 1,791044614 15,2790286 2,313354018 9,8 10,40085 9,02925 11,77245 0,914400039 12,6868503 8,333904844 14,5 12,04051 10,23375 13,84727 1,204503986 15,0517701 0,304450249 13,7 12,704306 11,22197 14,18664 0,988220769 15,174858 2,17520614 19 15,222584 12,82222 17,62295 1,600243488 19,2231924 0,049814834 5 11,13355 12,14675 10,12035 -0,67546729 9,44488196 19,75697565 12 11,48013 11,8801 11,08016 -0,26664841 10,8135091 1,407760654 11,3 11,408078 11,69129 11,12486 -0,18880986 10,9360534 0,132457117 17,5 13,844847 12,55271 15,13698 0,861421592 15,9984008 2,254800093 13,1 13,546908 12,95039 14,14342 0,397677461 14,5411018 2,076774272 17,9 15,288145 13,88549 16,6908 0,93510118 17,6258978 0,075132009 9,6 13,012887 13,53645 12,48932 -0,34904247 12,1402807 6,453026248 53,38506621 Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции: Выберем Соответственно: = -3,5166014; =-8,3384654; =-13,4803294 На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания и квадратов ошибок сведем в таблицу: yi Характеристики Оценки коэффициентов S1 S2 S3 a0 a1 a2 3,5 -2,1132811 -7,09343 -12,2029 2,737493 1,176307311 -0,00808583 3,91383304 0,171257789 5,2 -0,6506249 -5,80487 -10,9233 4,539396 1,307567679 0,002236112 5,84696599 0,41856499 2,2 -0,0804999 -4,65999 -9,67067 4,067818 0,915810984 -0,02694854 4,98399185 7,7506106 3,6 0,6556001 -3,59688 -8,45591 4,301519 0,740885761 -0,03790978 5,04312342 2,082605212 7,1 1,9444801 -2,4886 -7,26245 6,036806 0,927243389 -0,02129738 6,96427656 0,018420853 6,9 2,935584 -1,40377 -6,09071 6,927341 0,900178696 -0,02172458 7,82775603 0,860731248 4,1 3,1684672 -0,48932 -4,97043 6,002929 0,477055074 -0,05145785 6,4813078 5,670626841 5,3 3,5947738 0,327499 -3,91085 5,890979 0,300937696 -0,06069189 6,19375797 0,798803306 10,1 4,895819 1,241163 -2,88044 8,083524 0,66559622 -0,02918445 8,74954607 1,823725828 4,8 4,8766552 1,968261 -1,9107 6,814478 0,21148275 -0,06066067 7,02780093 4,963096995 7,7 5,4413242 2,662874 -0,99599 7,339363 0,226893959 -0,05502572 7,56777081 0,017484558 16,8 7,7130593 3,672911 -0,06221 12,05824 1,172083885 0,01906433 13,2305026 12,741312 9,8 8,1304475 4,564418 0,863117 11,5612 0,819644091 -0,00845449 12,3808846 6,660965133 14,5 9,404358 5,532406