Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра РТС На тему: "Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста" МИНСК, 2008 Метод статистической линеаризации Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем. Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев. В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида , (1) используется два критерия эквивалентности. Рис.1. Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов. Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента. Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде: ; (2) , (3) где ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ; ─ центрированная случайная составляющая. Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде: , (4) где ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию; ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей. Воспользуемся первым критерием эквивалентности: . (5) Из этих уравнений находим ; , где ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента. - коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию). По второму критерию эквивалентности: ; ; ; ; Для определения и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю: ; ; ; . При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное: ; Определив величины ; . для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами. Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2) Рис.2. Характеристика релейного типа: ; коэффициенты равны: ; ; ; Метод гармонической линеаризации Основы метода. Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии. Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе. Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3). Рис.3. Модель нелинейной системы. Уравнение линейной части: ,(6) При возникновении автоколебаний процесс на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными. . Пусть ; . (7) Представим в виде ряда Фурье: ; (8) Полагаем, что . Это справедливо, если симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только и Из уравнения (7) находим: ; . (9) Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим: (10) где (11) Таким образом, нелинейное уравнение для заменили приближенным линейным уравнением (11) для первой гармоники. и называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты и в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты. Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе. Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде: ; ; где ─ эквивалентная передаточная функция нелинейно - го звена. Частотная передаточная функция разомкнутой системы . Характеристическое уравнение . Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена . Фазочастотная характеристика ; ( ) Модуль определяет отношение амплитуд, а фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала. Если симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то и тогда . Часто при анализе используется величина обратная . Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена: . Расчет автоколебаний по критерию Найквиста В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем . Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0). Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы. Тогда искомое колебание . При нелинейной зависимости вида передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде . (12) Это уравнение решается графическим методом (рис.5). Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена. Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды ; при этом точка на импедансе смещается влево вниз. Это будет соответствовать уменьшению , следовательно, кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами . Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении. Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась амплитудно-фазовой характеристикой линейной части. При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива. Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф . ЛИТЕРАТУРА 1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000. 2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005. 3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.