Теория телетрафика Контрольная работа по дисциплине «Теория телетрафика» Законы распределения случайной величины Таблица1 Исходные данные Вариант Емкость АТС Nнх Nкв Cнх Tнх Cкв Tкв N1 ГИ Тип блока 1ГИ 9 8000 3200 4800 3,4 120 1,1 140 1200 80*120*400 Задание 1 1.Построить огибающую распределения вероятности занятия линий в пучке из v , на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а, при условии, что: а) N ≈ v; 6) N>>v; в) N, v → ∞. 2. Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию. Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения: (целая часть полученного числа), где NN - номер варианта. Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию: для NN ≤15:а = 0,15+0,05(15-NN); для 15 < NN ≤ 25:а= 0,05 +0,05(26-NN). Примечания. Для огибающей распределения привести таблицу значений Рi , и i В распределении Пуассона привести шесть - восемь составляющих, включая значения вероятности для i=[Y] (целая часть числа Y); Y = a*v Решение а) Распределение Бернулли (биноминальное распределение) при N ≤ v имеет вид: , где можно рассматривать как вероятность занятия любых i линий в пучке из v; - числоо сочетаний из а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию v – линейного пучка от N источников а =0,15+0,05(15-NN)= 0,15+0,05(15-9)=0,45 v – число линий в пучке Рисунок1 Биноминальное распределение Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых описывается распределением Бернулли, соответственно равны: б) Распределение Эрланга используется при N>>vи имеет вид: где - вероятность занятия любых i линий в пучке из v. Y – средняя интенсивность нагрузки Y=a*v=0,45*9=4,05 Рисунок 2 Распределение Эрланга Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых подчиняется распределению Эрланга, соответственно равны: в) Распределение Пуассона используется при N, v → ∞ и имеет вид: где Y – средняя интенсивность нагрузки Y=a*v=0,45*9=4,05 Рисунок 3 Распределение Пуассона Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, в бесконечном пучке линий равны между собой и вычисляются по формуле: Потоки вызовов. Основные свойства и характеристики Задание 2 На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью Y. 1. Рассчитать вероятности поступления менее k вызовов за промежуток времени [0, t*): Pk (t*), где t*= 0,5; 1,0; 1,5; 2,0. 2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов. F(t*), где t*= 0; 0,1; 0,2; ... 3. Рассчитать вероятность поступления не менее k вызовов за интервал времени [0, t*): Pi ³ k {t*), где t*= 1. Примечание: Для расчета значения Y и v взять из задания 1. Число вызовов k определить из выражения: k = [v/2] - целая часть числа. Для построения графика, рассчитать не менее пяти значений F(t*). Результаты расчета привести в виде таблицы значений F(t*) и t*. Расчет членов суммы Pi ³ k {t*) провести не менее, чем для восьми членов суммы. Решение 1. Вероятность поступления менее k вызовов за промежуток времени [0, t*): Pk (t*), где t*= 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; вычислим по формуле: , где k =0, 1, 2,....; Y=4,5; v=9 – из первого задания; k=v/2=9/2=4,5=5 Рисунок 4 График распределения вероятности 2. Найдем и построим значения функции распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов по формуле: , где t*= 0; 0,1; 0,2; ... График функции распределения Рисунок 5 График функции распределения t* 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F(t*) 0,0 0.362 0.593 0.741 0.835 0.895 0.933 0.957 0.973 0.983 Таблица 2 Результаты расчета 3. Рассчитаем вероятность поступления не менее k вызовов за интервал времени [0, t*): Pi ³ k {t*), где t*= 1, по формуле: ; Телефонная нагрузка и ее параметры Задание 3 1. Рассчитать интенсивность поступающей нагрузки на входы ступени 1ГИ для АТСКУ , Эрл. 2. Рассчитать средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских линии народнохозяйственного и квартирного секторов: , Эрл.; , Эрл.; а также среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС: , Эрл.; Пересчитать интенсивность нагрузки на выход ступени 1ГИ. Примечания: 1. Для расчета интенсивности поступающей нагрузки взять из табл.1 в зависимости от номера варианта Ni, Сi, Тi. В расчете принять n =5: 2. Нагрузка со входа ступени 1ГИ на ее выход пересчитывается с помощью следующего выражения: Увых1ГИ = (tвых1ГИ / tвх1ГИ ) * Увх1ГИ , где tвых1ГИ и tвх1ГИ - соответственно среднее время занятия выхода ступени 1ГИ и среднее время занятия входа ступени 1ГИ. tвых1ГИ =tвх1ГИ - Dt, где Dt -разница между временами занятия входа и выхода ступени 1ГИ. Для АТСКУ: Dt = 0,5*tмави + tмри + tмри + tco + n*tн + tм1ГИ + tм1ГИ . Среднее время занятия входа ступени 1ГИ: tвх1ГИ = Увх1ГИнх / (Nнх * Снх + Nкв * Скв ), для расчета принять: кp = 0,6; кз = 0,2; кн o = 0,15; кo ш = 0,05. Решение Структурный состав источников нагрузки проектируемой АТС: Абоненты (N) - народнохозяйственного сектора (НХ) – 2400 - квартирного сектора (КВ) – 5600 Средняя продолжительность разговоров Т в секундах: Тнх – 90 с; Ткв – 150 с. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в ЧНН: Снх – 3,7; Скв – 0,9. Емкость существующей сети N = 55000. Число действующих станций на ГТС – 7, в т. ч. NАТС1 – 7000; NАТС2 – 8000; NАТС3 – 6000; NАТС4 – 9000; NАТС5 – 5000; NАТС6 – 10000; NАТС7 – 10000. Емкость проектируемой АТС – 8000 Доля вызовов, закончившихся разговором кр = 0,6 Интенсивность поступающей нагрузки на входе ступени 1 ГИ проектируемой АТС может быть определена по формуле: Увх1ГИ = Ni *Уi , где i– категория абонентской линии, Ni – число абонентских линий i - ой категории Уi – удельная интенсивность нагрузки поступающая от АЛ i – ой категории на проектируемой АТС Удельная интенсивность нагрузки от АЛ i – ой категории находится по формуле: Уi = Ci * ti , где Сi – среднее число вызовов поступающих в ЧНН от АЛ i – ой категории; ti – средняя длительность занятия входов 1 ГИ вызовом от АЛ i – ой категории Средняя длительность занятия входов 1 ГИ определяется выражением: ti = кp *tpi + кз *tз + кно *tно + кош*tош +ктех *tтех ; где кр – доля вызовов из общего числа закончившихся разговором; кз – доля вызовов из общего числа не закончившихся разговором из–за занятости вызываемой АЛ; кно – то же из-за не ответа абонента; кош – то же из-за ошибок в наборе номера; ктех – то же из-за технических неисправностей в узлах коммутации (при расчетах ктех = 0); tpi ; tно ; tош ; tтех – средние длительности занятий соответствующие этим случаям. В практических расчетах, возможно использовать выражение: ti = ai *кp *tpi , где ai – коэффициент непроизводительного занятия коммутационной системы, зависящий от Ti и кр . Эта зависимость приведена на рис. 6 Рисунок 6 Коэффициент непроизводительного занятия коммутационной системы Среднюю длительность занятия 1 ГИ в случае соединения окончившегося разговором можно найти из выражения: tpi = ty + tпв + Ti + tо , где ty – средняя длительность установления соединения; tпв – средняя длительность слушания сигнала «КПВ»(tпв = 7 с.); Ti – средняя продолжительность разговора для вызова i – ой категории; to – продолжительность отбоя (to = 0,6 с.) Средняя длительность установления соединения для АТСКУ определяется по формуле: tу = 0,5*tмави + tмри + tмри + tco + n*tн + t1ГИ + tм1ГИ + tмсд + tмсд , где tj – среднее время ожидания обслуживания вызова маркером j – степени, tj = 0,1c.; tмави – время установления соединения МАВ на АИ при исходящей связи tмави = 0,3с.; tмри – время установления соединения МРИ на ступени РИ, tмри = 0,2 с.; tм1ГИ – время установления соединения МГИ на ступени 1ГИ, tм1ГИ = 0,65 с.; tмсд – время установления соединения МСД, tмсд = 1 c.; tco – средняя длительность слушания сигнала «Ответ станции», tco = 3 c.; tн – средняя длительность набора одного знака номера, tн = 1,5 с.; n – значность номера, n = 5. Тогда вычислим: ty = 0,5*0,3 +0,1+ 0,2 + 3 + 5*1,5 + 0,1 + 0,65 + 0,1 + 1 = 12,8 с. tрнх = 12,8 + 7 + 90 + 0,6 = 110,4 с.; tркв = 12,8 + 7 + 150 + 0,6 = 170,4 с.; tнх = 1,21 * 0,6 * 110,4 = 80,15 с.; tкв = 1,12 * 0,6 * 170,4 = 114,509 с.; Унх = 3,7 * 80,15 / 3600 = 0,082 Эрл.; Укв = 0,9 * 114,509 / 3600 = 0,029 Эрл.; Увх1ГИ = 2400 * 0,082 + 5600 * 0,029 = 358,017 Эрл.; Уисх = 358,017 / (2400 + 5600) = 0,045 Эрл. Пересчитаем нагрузку со входов на выходы ступеней группового искания. Интенсивность нагрузки с входа на выход пересчитывается с помощью следующего выражения: Увых1ГИ = (tвых1ГИ / tвх1ГИ ) * Увх1ГИ , где tвых1ГИ и tвх1ГИ – соответственно средние времена занятия входа и выхода 1 ГИ. Среднее время занятия входа ступени 1 ГИ: tвх1ГИ = Увх1ГИ / (Nнх * Снх + Nкв * Скв ), тогда вычислим: tвх1ГИ = 358,017 / (3,7 * 2400 + 0,9 * 5600) = 0,026 ч. = 92,591 с. Среднее время занятия выхода 1ГИ: tвых1ГИ = tвх1ГИ - Dt, где Dt – разница между временами занятия входа и выхода ступени 1ГИ. для АТСКУ Dt = 0,5*tмави + tмри + tмри + tco + n*tн + tм1ГИ + tм1ГИ = 0,15 +0,1 + 0,2 + 3 + 7,5 + 0,1 + 0,65 = 11,7 с. tвых1ГИ = 92,591 – 11,7 = 80,891 с. Увых1ГИ = (80,891 / 92,591) * 358,017 = 312,777 Эрл. Распределение нагрузки по направлениям Задание 4 1.Распределить интенсивность нагрузки Увых1ГИ ступени 1ГИ АТСКУ по направлениям методом нормированных коэффициентов тяготения (упрощенная формула). Расстояния между АТС задать в пределах 1 км < Lij < 14 км 2. Определить расчетную интенсивность нагрузки в каждом направлении. Результаты представить в виде таблицы. Примечание: Нагрузку на выходе 1ГИ в направлении к АМТС и УСС рассчитать следующим образом: Уамтс = 0,05 * Увых1ГИ ; Уусс = 0,02 * Увых1ГИ . Нагрузка, которая будет распределена по другим направлениям ступени, равна: Уi = Увых1ГИ – (Уамтс + Уусс ). Для распределения нагрузки по направлениям емкости АТС взять из примечания предыдущего задания. Решение Распределим нагрузку по направлениям исходящей и входящей связи. Составим диаграмму распределения нагрузки: Нагрузка на выходе ступени 1 ГИ распределяется по направлениям исходящей связи. Нагрузку в направлении к АМТС и УСС рассчитаем следующим образом: Уамтс = 0,05Увых1ГИ = 0,05 * 312,777 = 15,639 Эрл. Уусс = 0,02Увых1ГИ = 0,02 * 312,777 = 6,256 Эрл. Нагрузка, которая будет распределена по другим направлениям исходящей связи, равна: Уi = Увых1ГИ – (Уамтс + Уусс ) = 312,777 – (15,639 + 6,256) = 290,882 Эрл. Эта нагрузка распределяется между станциями сети с помощью нормированных коэффициентов тяготения nij , которые зависят от расстояния между станциями сети Lij , эта зависимость приведена в МУ, стр.12, рис.3. Нагрузка от проектируемой АТС к другим станциям сети может быть определена из следующей формулы: Уij = nij * Уi * Уj / ( nij * Уj ), Это выражение приближенно можно записать в виде: Уij = nij * Nj * Уi / ( nij * Nj ), Расстояние от проектируемой АТСКУ до других станций на сети выберем из условия: 1км £Lij £ 14 км Тогда от АТСКУ до АТСКУ1 2км., nij = 0,8; до АТСКУ2 3км., nij = 0,75; до АТСКУ3 4км., nij = 0,67; до АТСКУ4 5км., nij = 0,62; до АТСКУ5 6км., ni j = 0,57; до АТСКУ6 7км., nij = 0,52; до АТСКУ7 8км., nij = 0,5; При определении внутристанционной нагрузки Уij Lij = 0, а nij = 1; Исходящую нагрузку принимаем равной входящей нагрузке, т. е.: Уij = Уii , Увх.амтс = Уамтс . Тогда находим: Уii = 1*8000*290,882/[(0,8*7000)+(0,75*8000)+(0,67*6000)+(0,62*9000)+(0,57*5000)+ +(0,52*10000)+(0,5*10000)] = 67,943 Эрл. Уатску-атску1 = 0,8 * 7000 * 0,008493 = 47,56 Эрл.; Уатску-атску2 = 0,75 * 8000 * 0,008493 = 50,957 Эрл.; Уатску-атску3 = 0,67 * 6000 * 0,008493 = 34,142 Эрл.; Уатску-атску4 = 0,62 * 9000 * 0,008493 = 47,39 Эрл.; Уатску-атску5 = 0,57 * 5000 * 0,008493 = 24,205 Эрл.; Уатску-атску6 = 0,52 * 10000 * 0,008493 = 44,163 Эрл.; Уатску-атску7 = 0,5 * 10000 * 0,008493 = 42,465 Эрл.; Общая входящая нагрузка на проектируемой АТС: Увх i = Уji + Уii = 67,943 + 47,56 + 50,957 + 34,142 + 47,39 + 24,205 + 44,163 + 42,465 = = 460,729 Эрл. После определения математических ожиданий интенсивности нагрузки по всем направлениям переходим к расчетным значениям нагрузки по формуле: Ур = У + 0,674 , где У – математическое ожидание интенсивности нагрузки в каждом направлении. Результаты расчета сведем в табл.3 Таблица 3 Направление Математическое ожидание Уij , Эрл. Расчетная нагрузка Ур , Эрл. АТСКУ1 47,56 52,20816 АТСКУ2 50,957 55,76829 АТСКУ3 34,142 38,08026 АТСКУ4 47,39 52,02984 АТСКУ5 24,205 27,52098 АТСКУ6 44,163 48,64208 АТСКУ7 42,465 46,85713 Внутристанционная 67,943 73,49862 УСС 6,256 7,941809 АМТС 15,639 18,30441 Метод расчета однозвенных полнодоступных коммутационных схем при обслуживании простейшего потока вызовов в системе с потерями. Первая формула Эрланга Задание 5 1. Рассчитать необходимое число линии на всех направлениях искания : ступени 1ГИ, предполагая полнодоступное однозвенное включение при заданных нормах величины потерь. Расчетную интенсивность нагрузки взять из предыдущего задания. Результаты занести в таблицу. 2. Рассчитать и построить зависимость числа линий v и коэффициента использования h от величины интенсивности нагрузки при величине потерь Р = 0,0NN, где NN - номер варианта. Результаты расчета представить в виде таблицы и графиков v = f(Y) и h= f(Y) при Р = const. 3. Построить зависимость величины потерь Ev , v (Y) от интенсивности поступающей нагрузки при фиксированном значении числа линий в направлении к УСС. Диапазон изменения величины потерь принять от 0,0001 до 0,2 (соответствующим выбором Y). Результаты представить в виде таблицы и графика Р =f(Y) при v = const. Решение 1.Расчет необходимого числа линий на всех направлениях искания ступени 1ГИ таб.4 Таблица 4 Направление Расчетная нагрузка Ур , Эрл. Р Ртабл. v АТСКУ1 52,20816 0,005 0,005 69 АТСКУ2 55,76829 0,005 0,005 73 АТСКУ3 38,08026 0,005 0,005 53 АТСКУ4 52,02984 0,005 0,005 69 АТСКУ5 27,52098 0,005 0,005 40 АТСКУ6 48,64208 0,005 0,005 65 АТСКУ7 46,85713 0,005 0,005 63 Внутри-станционная 73,49862 0,003 0,003 93 УСС 7,941809 0,001 0,001 21 АМТС 18,30441 0,01 0,01 28 2. Рассчитаем и построим зависимость числа линий v и коэффициента использования h от величины интенсивности нагрузки при величине потерь Р = 0,008 по формулам: h = У0 /v, где У0 – обслуженная нагрузка, У0 = У – Упот = У * [1 – Еv , v (У)] = У * 0,985 Таблица 5 Результаты расчета №п.п. У, Эрл. v Ртабл. У0 h 1 1 5 0,007 0,985 0,197 2 3 9 0,007 2,955 0,328333 3 5 12 0,007 4,925 0,410417 4 10 19 0,007 9,85 0,518421 5 15 25 0,007 14,775 0,591 6 20 31 0,007 19,7 0,635484 7 25 37 0,007 24,625 0,665541 8 30 43 0,007 29,55 0,687209 9 40 54 0,007 39,4 0,72963 10 50 66 0,007 49,25 0,746212 Рисунок 7 График зависимости v = f(Y) h Рисунок 8 График зависимости h= f(Y) 3. Построим зависимость величины потерь Ev , v (Y) от интенсивности поступающей нагрузки при фиксированном значении числа линий в направлении к УСС. Результаты расчета при v = const = 20 таб.6 Таблица 6 №п.п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 У, Эрл. 7,70 8,16 8,44 8,83 9,40 10,46 11,04 11,45 11,91 12,92 Ртабл. 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,001 0,003 0,005 0,007 0,01 0,02 Рисунок 9 График зависимости Р =f(Y) Метод расчета однозвенных полнодоступных коммутационных схем при обслуживании примитивного потока вызовов в системе с потерями. Первая формула Энгсета - Фрайя Задание 6 1. Используя таблицы (приложение 2), рассчитать для заданных значений v и а при n = 20 вероятности Рt , Рв , Рн , сравнить их по величине. Для расчета значения v и а взять из задания 1. Если а > 0,5, то принять а = а/2. 2. Построить зависимость числа линий v от интенсивности нагрузки при фиксированном значении Рв = 0,0NN при n = 10, 30, 60. На этом же рисунке построить зависимость v = f(Y) для обслуживания простейшего потока вызовов. Результаты представить в виде таблицы. Объяснить полученные зависимости. Решение 1. Рассчитаем вероятности Рt , Рв , Рн по формулам: ; ; , где а = 0,5 – интенсивность нагрузки от одного источника; v = 9 – число линий в пучке; n = 20 – число источников нагрузки, из условия задания. ; ; ; По результатам расчета видно, что Рt > Рв > Рн . 2. Построим зависимость числа линий v от интенсивности нагрузки при фиксированном значении Рв = 0,0NN = 0,008 при n = 10, 30, 60. На этом же рисунке построим зависимость v = f(Y) для обслуживания простейшего потока вызовов. Результаты расчета при Рв = 0,007 приведены в таб.7 Таблица 7 График зависимости числа линий v от интенсивности нагрузки рис.10 №п.п. a Y = a*n v n = 5 0,5 2,5 5 n = 10 0,5 5 9 n = 20 0,5 10 15 n = 30 0,5 15 22 n = 40 0,5 20 27 n = 50 0,5 25 33 n = 70 0,5 35 44 n = 100 0,5 45 61 n = ∞ 0,5 50 65 Рисунок 10 График зависимости числа линий v от интенсивности нагрузки Характер зависимости величины поступающей нагрузки Y от емкости пучка линий, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n такой же, как и при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность пучка. Из выше приведенного графика видно, что при данном качестве обслуживания поступающая на v линий пучка нагрузка создаваемого вызовами примитивного потока от любого числа источников имеет большую величину по сравнению с нагрузкой Y, создаваемой вызовами простейшего потока. Таким образом, с точки зрения величины обслуживаемой нагрузки примитивный поток всегда «лучше» простейшего потока вызовов. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Корнышев Ю. Н., Пшеничников А. П., Харкевич А. Д. Теория телетрафика - М.: Радиои связь, 1996. - 272 с. 2. Лившиц B.C., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика - М.: Связь, 1979. - 224 с. 3. Шнепс М.А. Системы распределения информации. Методы расчета. М.: Связь, 1979. -342 с. 4. Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации. М.: Радио и связь, 1985.-184 с. 5. Башарин Г.Л. Таблицы вероятностей и средних, квадратичных отклонений потерь на полнодоступном пучке линий. - М.: АН СССР 1962. -128 с. 6. Учебное пособие по курсовому проектировании координатных АТС / Р.А. Аваков, М.А. Подвида, В.Е. Родзянко- Л., 1961. - 102 с. 7. Лившиц B.C., Фидлин Л.В. Системы массового обслуживания с конечным числом источников. - М.: Связь, 1968. - 167 с. 8. Ионин Г.Л., Седол Я.Я. Таблицы вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах. - М.: Наука, 1970. -155 с. 9. Захаров Т.П., Варакосин Н.П. Расчет количества каналов связи при обслуживании с ожиданием. - М.: Связь, 1967. - 194 с. 10. Проектирование координатных автоматических телефонных станций типа АТСК /М.Ф. Когш, З.С. Коханова, О.И. Панкратова и др. / ВЗЭЙС. - М.: 1969. -143 с.