Теория автоматического управления 1. Анализ устойчивости замкнутой системы 1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения Запишем передаточную функцию разомкнутой системы: . (1) Передаточная функция замкнутой системы имеет вид: . Характеристическое уравнение замкнутой системы: (2) Корни характеристического уравнения (2): Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно, данная замкнутая система неустойчива. 1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию Для характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты ai , i =0..3 , а0 =0.00008, a 1 =0.0078, a 2 = – 0.03, a 3 =48. Необходимым условием устойчивости системы является: ai >0, i =0..3 Данное условие не выполняется (a 2 <0 ), следовательно, замкнутая система неустойчива. 1.3 Анализ устойчивости системы по частотным критериям а) Критерий Найквиста (на комплексной плоскости) Используя передаточную функцию разомкнутой системы (1) запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы: . (3) Найдем корни характеристического уравнения (3): Характеристическое уравнение разомкнутой системы (3) имеет один правый корень, следовательно, разомкнутая система неустойчива. Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части. (4) (5) (6) Используя выражения (5) и (6), заполним таблицу: Таблица 1.3.1 w 0 - - ∞ P -48 0 - 0 Q 0 - 0 0 Построим годограф Найквиста (Рис. 1.3.1): Рис. 1.3.1 Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку ( ; ) в положительном направлении на угол , где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (3) равно единице (l = 1), полученный годограф не охватывает особую точку (-1, j0) на угол l π=π (годограф охватывает особую точку в направлении по часовой стрелке), следовательно, критерий Найквиста не выполняется и система неустойчива. б) Критерий Найквиста (на плоскости ЛЧХ) Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L ( w ) и φ( w ) : (7) (8) Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры: ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы. Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2): Рис. 1.3.2 wср (частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw; wкр (критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π; Система устойчива, если выполняется условие: wср < wкр Данное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3): в) Критерий Михайлова Используя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова: , где , . Для заданной системы функция Михайлова примет вид: (9) (10) Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ∞ проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль. Используя выражения (9) и (10), заполним таблицу: Таблица 1.3.3 w 0 77,625 - ∞ X ( w ) 47 0 - -∞ Y ( w ) 0 -39,748 0 -∞ Построим годограф Михайлова (Рис. 1.3.4): Рис. 1.3.4 Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта в отрицательном направлении, таким образом, критерий Михайлова не выполняется, следовательно, система неустойчива. 2. Построение области устойчивости в плоскости параметра Кр Построим область устойчивости, используя критерий Гурвица. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде: . Для конкретного случая характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: (11) Для устойчивости системы КР должно удовлетворять необходимому условию Рис. 2.1 Но заметим, что исходный КР удовлетворяет этому условию, и его изменением устойчивости замкнутой системы добиться невозможно, т. к. в ХУ ЗС (2.3) а2 <0, и зависит этот коэффициент от постоянных времени. Построим область устойчивости в плоскости параметра Т2 Необходимое условие устойчивости: Достаточное условие устойчивости для системы третьего порядка по критерию Гурвица имеет вид: Учитывая все условия: Рис. 2.2 3. Коррекция системы Для обеспечения устойчивости системы необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией вида: Структурная схема скорректированной системы (Рис. 3.1): Рис. 3.1 Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы имеет вид: (12) Определим параметр Т из условия обеспечения минимального запаса устойчивости (L зап =5 дБ ). Запас по амплитуде определяется на критической частоте – частоте, на которой функция φ ( w ) принимает значение, равное -π Расчетное выражение для φ ( w ) : , отсюда (13) Расчетное выражение для L ( w ) : (14) Подставим найденное выражение Т (13) в функцию L ( w ) (14): На критической частоте значение функции L ( w ) , исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ. Из данного выражения найдем w кр w кр =308,4185, следовательно, Т=0,001198 Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде. 4. Построение и анализ ЛЧХ системы и годографа Найквиста скорректированной системы Используя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы: (15) Найдем корни характеристического уравнения (15): Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива. Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части. (16) (17) Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу: Таблица 4.1 w 0 - 328,8237 ∞ P -48 0 -0,485 0 Q 0 - 0 0 Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1): Рис. 4.1 Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку ( ; ) в положительном направлении на угол , где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l = 1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол l π=π, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива. Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы: Определим расчетные выражения для L ( w ) и φ( w ) : (18) (19) Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры: ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы. Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2): Рис. 4.2 wср (частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw; wкр (критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π; Система устойчива, если выполняется условие: wср < wкр Данное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: L зап = 5,8 дБ Запас устойчивости по фазе: φзап =0,2 рад Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему. 5. Анализ качества системы в переходном режиме Определим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику: , где (20) (21) Ф( s ) – передаточная функция скорректированной замкнутой системы. Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1): Рис. 5.1 По рисунку (5.1) определим: hmax =0.3; h уст =0.17; h (0) =0, время регулирования на уровне 0.05 (hуст -h(0)). Коридор: [0.95 (hуст -h(0)); 1.05 (hуст -h(0))]. Коридор: [0.1615; 0.1785]. Время регулирования: t рег = 0,15 с. Перерегулирование равно: (5.3) . Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы: Выделим действительную и мнимую части: Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы: (22) Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2): Рис. 5.2 По рисунку (5.2) определим: ; . Показатель колебательности M есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате: Определим запасы устойчивости системы. Найдем критическую частоту – частоту, на которой значение φ( w ) равняется –π. (23) w кр =328,824 Рассчитаем запас по амплитуде: (24) Запас по амплитуде: L зап = 5,797 дБ Найдем частоту среза – частоту, на которой значение L ( w ) равняется 0, используя выражение (24): w ср =232,624 Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23): Запас по фазе: φзап =0,168 рад. 6. Анализ качества системы в установившемся режиме Установившаяся ошибка системы равна: (25) εустХо =С0 Х0 (t)+ С1 Х'0 (t)+… εуст f =С0 F0 (t)+ С1 F'0 (t)+… Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия – константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок. Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию: Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию: Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению: Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию: Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25): Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала: ;