Факторный анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра МО САПР Использование факторного анализа для построения рейтинга банков. студентов второй группы третьего курса факультета прикладной математики и информатики Бескоровайного А.А. и Лейнова В. А. Научный руководитель: Ковалев М.М. Минск, 1997. Содержание Введение 3 Методология факторного анализа 4 Описание программы 8 Приложение 9 Формат файлов 9 Таблица исходных данных 9 Факторная матрица 10 Матрица факторного отображения 11 Графическое представление 12 Введение В факторном анализе предполагается, что наблюдаемые переменные являются линейной комбинацией некоторых латентных (гипотетических или ненаблюдаемых) факторов. Некоторые из этих факторов допускаются общими для двух и более переменных, а другие-- характерными для каждого параметра в отдельности. Применительно к построению банковских рейтингов реальную картину состояния дает методика, основанная на применении двухфакторного анализа, которая позволяет представить банки точками на плоскости, координатными осями которой являются [построенные] факторы, что особенно удобно для составления динамических рейтингов, когда при анализе состояния системы во времени точки, указывающие на состояние банков, превращаются в диаграммы. Методология факторного анализа. Необходимо попытаться наиболее полно проанализировать разнообразные показатели, характеризующие в нашем случае состояние банков. Для этого необходимо свести их к меньшему числу некоторых факторов. Представим каждый рейтинговый показатель zj как линейную комбинацию гипотетических факторов: Zj =aj1 F1 +aj2 F2 +...+ajm Fm (j=1,2...n), где Fi – значение i-го фактора для данной (j-ой) компоненты; aji – вес фактора i в компоненте j; m – количество факторов; n – количество показателей. Можно выделить следующие этапы построения факторной матрицы: 1. Создаем исходную матрицу {{xij }} размерности (n * m), где m – количество характеристик, а n – количество исследуемых банков. 2. Строим корреляционную матрицу R={{rij }}, имеющую размерность m * m: 2.1 Строим ковариационную матрицу: C=XT * X/n : 2.2 Строим корреляционную матрицу: R={{rij }}, 2.3 На основе построенной корреляционной матрицы строим редуцированную корреляционную матрицу: 3. В методе главных факторов на 1-ом этапе вычислений ищут коэффициенты при первом факторе так, чтобы сумма вкладов в суммарную общность была максимальной Максимум V1 должен быть обеспечен при условии Чтобы максимизировать функцию n переменных воспользуемся методом множителей Лагранжа, с помощью которого приходим к выводу, что искомая функция является ничем иным как максимальным собственным значением уравнения det(R-lE)=0 (2), где R- редуцированная корреляционная матрица, полученная в пункте 2. Далее, подставив найденное значение l1 и получив одно из возможных решений (q11 ,q21, ... , qn1) уравнения (2), являющихся в свою очередь собственным вектором, соответствующим данному собственному значению и, для удовлетворения выражению (1), разделив на корень из суммы их квадратов и умножив на квадратный корень из собственного значения, получим что представляет собой искомый коэффициент при факторе F1 в факторном отображении пункта 1. l1 вычисляется по формуле: l1 =max{p1j }, где вектор p=R* q1 Вектор q1 находится при помощи следующего итерационного процесса: Вычисляем R, R2 , R4 ,... до тех пор, пока не будет выполняться условие |b( i) -b(i/2) |<e, где b( i) вектор, j-ый элемент которого равен частному от деления суммы j-ой строки матрицы Ri на максимальную из сумм элементов строк матрицы Ri , а в качестве e берется заранее выбранная точность вычислений. По окончании процесса в качестве вектора q берется вектор a(i) . 4.Для определения коэффициентов при втором факторе F2 необходимо максимизировать функцию что делается аналогично вычислениям для 1-го фактора, только вместо матрицы R используется матрица Полученную факторную матрицу F размерности m* 2 вращаем путем умножения на матрицу поворота , где a-угол поворота, изменяющийся от 0 до p/2 с шагом p/720. Окончательный поворот будет произведен на угол, при котором выполнится критерий Варимакс: Где r — число факторов. Умножив справа исходную матрицу Х на построенную Fпов , получим окончательную матрицу, показывающую расположение банков в новых координатах (факторах F1 , F2 ). Описание программы. Для компьютерной реализации описанного выше метода нами, с помощью среды Delphi 2.0, была создана программа rating, функционирующая под управлением операционной системы Windows-95. 1. После запуска программа предлагает пользователю загрузить исходные данные о состоянии банков за некоторые периоды времени. Исходные файлы хранятся в специальном формате (см. приложение 1). 2. Данные загружаются в таблицы (по годам), где и могут быть просмотрены (см. приложение 2) В прилагаемом ниже примере исходными данными является файл по состоянию на 1995 код со следующими показателями, характеризующими банки : a1=Активы a2=Капитал a3=Капитал/активы в % a4=.Вложения в другие банки a5=Вложения в экономику a6=Вложения всего 3. По нажатию соответствующей кнопки на панели управления программой, будут построены и отображены матрицы факторного отображения (см приложение 4) ,за каждый из периодов времени. Данные матрицы образуются из факторных матриц, описывающих вклад каждого из показателей в общий фактор (см. приложение 3) 4. По желанию пользователя может быть построен график, показывающий положение банков на факторной плоскости и динамику их развития во времени (см. приложение 5). Приложение. 1. Формат файлов Файлы, используемые в нашей программе представляют собой текстовые файлы, в которых в качестве разделителей используются пробелы. В первом столбце файла хранятся названия обрабатываемых банков, а в первой строке – названия показателей, характеризующих их деятельность. 2. Таблица исходных данных 3. Факторная матрица Показатель F1 F2 a1=Активы 0.940 0.264 a2=Капитал 0.949 0.198 a3=Капитал/активы в % 0.829 0.436 a4=Вложения в другие банки 0.602 0.539 a5=Вложенияв экономику 0.834 0.425 a6=Вложения всего 0.922 0.335 4.Матрица факторного отображения 5. Графическое представление Прямоугольной областью обозначается положение банка на факторной плоскости по состоянию на 1995 год, а круглой областью такого же цвета обозначается положение того же банка по состоянию на 1996 год.