Испытание и обеспечение надёжности ДЛА по дисциплине: «Испытание и обеспечение надёжности ДЛА» Задание Оценить надежность ДЛА по результатам огневых испытаний. Исходные данные: Проведены огневые испытания N двигателей по программе, обеспечившей проверку всех эксплуатационных условий применения двигателя. При этом были измерены значения основного параметра - тяги двигателя R . При испытаниях зарегистрировано два отказа двигателя: один - на основном (стационарном) режиме и один – на останове. Причины отказов были установлены и устранены конструктивными изменениями, которые по своему характеру позволяют считать все испытанные двигатели за исключением аварийных, представительными для расчета надежности. Требуется оценить надежность (вероятность безотказной работы) двигателя с учетом ограниченного объема полученной информации, выполнив расчет точечной оценки надежности и ее нижней доверительной границы , соответствующей заданной доверительной вероятности g. При расчетах принять допущение о нормальном законе распределения тяги двигателя, обеспечив проверку правомерности такого допущения с помощью статического критерия c2 . Общие положения, принимаемые при оценке надежности Представим двигатель как сложный объект, состоящий из четырех независимых систем, характеризующий следующие его свойства: · безотказность функционирования при запуске; · безотказность функционирования на стационарных режимах; · безотказность функционирования на останове; · обеспечение требуемого уровня тяги. Принимая во внимание независимость функционирования названных систем, будем характеризовать надежность двигателя как произведение вероятностей безотказной работы отдельных его систем. Р ДВ =Р зап × Р реж × Р ост × Р пар , (1) где Р ДВ - вероятность безотказной работы двигателя; Р зап - вероятность безотказного функционирования двигателя на запуске; Р реж - вероятность безотказного функционирования двигателя на стационарных режимах; Р ост - вероятность безотказного функционирования двигателя на останове; Р пар - вероятность обеспечения требуемого уровня тяги. В качестве величины тяги, характеризующей данный экземпляр двигателя, принимается ее среднее значение, полученное на номинальном режиме, или расчетное значение тяги, приведенное к номинальному режиму и условиям работы двигателя. Оценка надежности двигателя осуществляется по результатам раздельной оценки надежности систем и последующего вычисления надежности двигателя в целом. При этом расчет нижней доверительной границы надежности по параметру тяги целесообразно выполнить по схеме «параметр - поле допуска», а вычисление остальных оценок надежности (точечных и интервальных) для всех систем - по схеме «успех-отказ». Методика расчета надежности по результатам огневых испытаний Точечные оценки надежности систем вычисляются по формуле , (2) где Ni-общее количество испытаний i-й системы; Mi-количество отказов i-й системы в Ni испытаниях. Для системы обеспечения тяги в качестве числа отказов М используется число испытаний, при которых измеренные значения тяги R вышли за пределы заданного допуска [Rmin – Rmax]. Измерения тяги представлены в табл. П 1 для двух базовых вариантов статистики. Нижние доверительные границы надежности для схемы «успех - отказ» оцениваются по формуле , (3) в которой значения cІg , k определяются по табл. П 2 в зависимости от величины доверительной вероятности g и числа степеней свободы K i = 2M i + 2. (4) Для наиболее распространенного практического случая отсутствия отказов (M i =0), имеющего место при гарантированном устранении причин всех выявленных отказов, формула (3) приобретает вид . (5) Так как для расчета надежности по схеме «параметр - поле допуска» требуется знание закона распределения параметра, выполним проверку справедливости предложенного выше допущения о нормальном законе распределения параметра тяги. Для этой цели используем наиболее употребительный статистический критерий c2 (критерий Пирсона), по которому за меру расхождения между статистическим (экспериментально полученным) и теоретическим законами распределения принимается величина . (6) Здесь l- число разрядов (интервалов), на которые разбит весь диапазон возможных значений параметра; N - объем проведенных измерений; m i -количество измерений, попадающих в i-й разряд (интервал); P i - вероятность попадания параметра в i-й интервал, вычисленная для теоретического закона распределения. В качестве параметров теоретического нормального закона распределения принимаются величины: · среднее измеренное значение параметра ; (7) · среднеквадратическое отклонение параметра, вычисленное по результатам измерений . (8) Полученная по формуле (6) величина cІ сравнивается с некоторым критическим ее значением cІg ,k , определяемым по табл. П 2 в зависимости от доверительной вероятности g и числа степеней свободы k = N -l-2. В результате сравнения правомерность принятого допущения либо подтверждается (cІ<cІg , k ), либо не подтверждается (cІ³cІg ,k ). При этом вероятность ошибочного вывода о правомерности или неправомерности принятого допущения, будет невелика и равна (1-g). Проверка нормальности распределения осуществляется в следующем порядке: · назначают диапазон практически возможных значений параметра, который с некоторым запасом накрывает интервал фактических измерений ( в качестве упомянутого диапазона достаточно принять интервал ± 3,5S ); · назначенный диапазон делят на 8 ч12 интервалов, обеспечив (по возможности) удобный ряд значений, соответствующих границам интервалов; · последовательным просмотром всех численных значений тяги относят каждое измерение к конкретному интервалу и подсчитывают количество измерений, приходящихся на каждый интервал; · объединяют интервалы, включающие малое количество измерений, и получают окончательное количество измерений m i , попавших в каждый i-й интервал (i=1,2, ... ,l), так как первоначально выбранное количество интервалов l может сократиться до l. В нашем случае условимся объединять с соседними интервалами те из них, число измерений в которых оказалось менее четырех; · для каждой границы i-го интервала подсчитывают значения ; (9) ; (10) при этом учитывают, что значения U iB для i-го интервала и U( i +1)Н для (i+1)-го интервала совпадают; · находят теоретические вероятности попадания параметра в каждый i-й интервал, используя выражение: P i = F (U iB )- F (U i н ), (11) в котором F (U i B ) и F (U i н ) представляют собой значения нормированной функции нормального распределения (функции Лапласа), определяемые по табл. П 3 в зависимости от вычисленных значений U i B и U iH . Упомянутая таблица составлена только для положительных значений аргумента U, и в связи с этим для нахождения отрицательных аргументов целесообразно пользоваться формулой F (-U ) = 1 - F (U ); (12) · вычисляют теоретическое количество измерений параметра, попадающих в каждый i -й интервал m i теор = Np i , (13) при этом значения m i теор , являющиеся действительными числами, определяются с точностью до одного знака после запятой; · находят значение критерия cІ по формуле (6); · находят критическое значение критерия cІg , k по табл. П 2 в зависимости от числа степеней свободы k = N - l-2 и доверительной вероятности g; · подтверждают справедливость принятого допущения о нормальном законе распределения параметра при выполнении условия cІ<cІg , k . В противном случае (при cІ³cІg , k ) гипотеза о нормальном законе распределения должна быть отвергнута. Этот случай не позволяет воспользоваться для вычисления надежности Р пар.н приведенной ниже формулой (14) и поэтому не рассматривается в настоящей учебной работе. При проведении расчетов целесообразно промежуточные результаты вычислений представлять в виде таблицы, оформленной по образцу табл. 6.2. При подсчете частот попадания в каждый интервал целесообразно воспользоваться следующим приемом: · первые четыре случая попадания в интервал отмечаются точками в графе 3 табл.6.2; · последующие попадания в интервал отмечаются в виде тире, соединяющих отдельные точки. Законченная комбинация из четырех точек и шести тире соответствует 10-ти попаданиям. Данный прием облегчает подсчет числа попаданий в каждый интервал. Нижнюю доверительную границу параметрической надежности находим по формуле , (14) в которой R max , R min - максимальное и минимальное допустимые значения параметра ( верхняя и нижняя границы заданного допуска); A g , n - коэффициент ограниченности статистики испытаний, определяемый по табл. П 2 в зависимости от числа проведенных испытаний n и доверительной вероятности g. Найденные по формулам (2), (3), (5) точечные и интервальные Р ni оценки надежности отдельных систем используют для вычисления точечной и нижней доверительной границы надежности двигателя в целом по формулам ; (15) ;(16) в которых m- общее количество выделенных в двигателе систем; P jn ( min ) - значение минимальной доверительной границы надежности (для j -й системы двигателя); P j - соответствующая ей точечная оценка надежности. В случае отсутствия отказов отдельных систем соотношения (15) и (16) приобретают вид ; (17) Р ДВ. n = P in ( min) . (18) Таким образом, надежность двигателя будет оцениваться минимальной нижней доверительной границей надежности P in ( min ) , достигнутой для отдельных систем двигателя. Эту i-ю систему следует считать лимитирующей надежность двигателя, в связи с чем дальнейшее повышение надежности Р ДВ следует обеспечивать мероприятиями, преследующими повышение безотказности лимитирующей системы или увеличением числа ее безотказных испытаний. Решение Таблица 6.1 Номер испытания Тяга двигателя, R[m] Номер испытания Тяга двигателя R[m] Номер испытания Тяга двигателя, R[m] Номер испытания Тяга двигателя, R[m] 1 82,2 11 81,69 21 81,67 31 82,91 2 82,6 12 81,71 22 81,9 32 82,31 3 80,91 13 81,38 23 82,22 33 81,97 4 82,69 14 81,93 24 82,1 34 82,14 5 82,36 15 82,24 25 81,82 35 82,15 6 82,53 16 83,47 26 82,27 36 82,45 7 82,09 17 81,76 27 80,63 37 81,73 8 81,54 18 81,29 28 82,19 38 83,18 9 81,54 19 81,87 29 81,44 39 81,88 10 81,2 20 82,8 30 81,12 · безотказность функционирования на запуске; · безотказность функционирования на стационарных режимах; · безотказность функционирования на останове; · безотказность обеспечения требуемого уровня тяги. Надежность двигателя Р ДВ будет оцениваться как произведение надежностей отдельных систем в соответствии с формулой (1). Для вычисления точечных оценок надежности используем общую формулу , (19) где М число отказов в N испытаниях. В нашем случае число отказов на запуске, режиме и останове равно нулю (отказы признаны незачетными в связи с гарантированным устранением их причин), отказов по параметру тяги не зарегистрировано (все измеренные значения тяги находятся в интервале допустимых значений). Следовательно, зап = 1, реж = 1, ост = 1, пар = 1, ДВ = 1. (20) Для нахождения нижних доверительных границ надежности систем воспользуемся общей формулой , (21) справедливой для частного случая М = 0. Соответственно получаем: · для запуска (N= 39) Р зап. n = =0.926; · для стационарного режима (N= 38, т.к. одно испытание с отказом на режиме признанно незачетным) Рреж .n . = =0.924; · для останова (N =37, т.к. признаны незачетными два испытания с отказами) Р зап. n = =0.922. Для вычисления нижней границы параметрической надежности Р пар используем схему «параметр - поле допуска», приняв допущение о нормальном законе распределения параметра тяги. Предварительно выполним проверку правильности этого допущения с помощью статистического критерия Пирсона (критерия c?). Для этого разобьем диапазон возможных значений тяги на 10 интервалов. Границы интервалов занесем в графы 1 и 2 табл. 6.2. На основе просмотра измерений, приведенных в табл. 6.1, отнесем каждое из них к соответствующему интервалу. Количество измерений, попадающих в интервалы, занесем в графу 4 табл. 6.2. Проведем объединение соседних интервалов, в которых количество попавших измерений оказалось менее четырех (интервалы 1-3 и 8-10) , а уточненное количество попаданий в каждый интервал занесем в графу 7 табл. 6.2. Построим гистограмму распределения измеренных значений параметра тяги (см. рис. 6.1), откладывая по оси абсцисс границы интервалов, а по оси ординат – величины m i /DR i (здесь m i - число измерений, попадающих в i-й интервал, R i - длина соответствующего интервала). Для нахождения теоретических значений частоты попадания в каждый интервал вычислим нормированные значения верхних границ интервалов (22) и вероятности получения тяги менее верхней границы . (23) Значения U iв и P i (R i £R iв ) занесены в графы 8 и 9 соответственно. Принимаем допущение о нормальном законе распределения тяги двигателя. В качестве параметров нормального закона используем величины · среднеарифметическое значение тяги ; (24) · среднеквадратичное отклонение тяги . (25) После необходимых вычислений получаем = 81,99692 S= 0.588026. Определяем теоретическую вероятность попадания параметра в каждый i-й интервал по формуле Pi = F[Uiв] - F[U(i-1)в], (26) в которой F (U ) - функция Лапласа, определяемая по таблицам нормального распределения, в зависимости от величины U (см. табл. П 3). Значения вероятностей P i занесем в графу 10 табл. 6.2, а в графе 11 поместим теоретическое число попаданий в i-й интервал, вычисленное как miтеор=NPi , (27) где N- общее число измерений. Гистограмму теоретического распределения параметра тяги приведем на графике, осуществив предварительно вычисление соответствующих ординат m i / D R i . Сходство экспериментального и теоретического распределения тяги, приведенных на графике, характеризуется критерием cІ . (28) Определим критическое значение критерия cІg ,k по табл. П 2 в зависимости от g = 0.95 и k= 39-6-2=31: cІg, k = 44,42. Так найденное значение cІ существенно меньше критического значения cІg, k , принятое допущение о нормальном законе распределения тяги следует считать правомерным. Следовательно, нижняя доверительная граница параметрической надежности может быть найдена по формуле , (29) где A g , k = 1.187 определено по табл. П 2 в зависимости от доверительной вероятности g=0.9 и числа испытаний k=N=40. В нашем случае . Так как в табл. П 3 значения функции F(х) приведены только для положительных значений аргумента, воспользуемся формулой (12), тогда Р пар. n = F (1,985) – 1 + F (1,977) = 0.97558 – 1 + 0.975 = 0.95058. Минимальное значение нижней доверительной границы надежности Р n(min) полученное для системы, характеризующей останов двигателя (0.922). Это значение с учетом отсутствия зачетных отказов по всем системам будет характеризовать нижнюю доверительную границу надежности для двигателя в целом. Для обеспечения дальнейшего повышения надежности двигателя необходимо увеличение статистики безотказных испытаний. Таблица 6.2 Границы интер-валов Подсчет попада-ний в интервал Число попада-ний в интервал Объединенные интервалы Число попада-ний в интервал Нормиро-ванная верхняя граница U В =( R В - )/ S Вероят-ность непревышения верхней границы, F ( U В ) Вероят-ность попадания в интервал, Р Теоретическое число попада-ний в интервал, m теор =NP R Н R В R Н R В 80,5 80,8 * 1 80,5 81,4 6 -1,015 0,15866 0,15866 6,18774 80,8 81,1 * 1 81,1 81,4 **** 4 81,4 81,7 ***** 5 81,4 81,7 5 -0,50494 0,30854 0,14988 5,84532 81,7 82 ********* 9 81,7 82 9 0,00524 0,5000 0,19146 7,46694 82 82,3 ********* 9 82 82,3 9 0,5154 0,69847 0,19847 7,74033 82,3 82,6 ***** 5 82,3 82,6 5 1,0256 0,84134 0,14287 5,57193 82,6 82,9 ** 2 82,6 83,5 5 2,5562 0,99477 0,15343 5,98377 82,9 83,2 ** 2 83,2 83,5 * 1 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П 1 Измеренные значения тяги двигателя для двух базовых вариантов статистики Номер испытания Тяга двигателя, R [т] Номер испытания Тяга двигателя, R [т] Вариант 1 Вариант 2 Вариант 1 Вариант 2 1 3,215 82,2 21 3,138 81,67 2 3,144 82,6 22 3,171 81,9 3 3,219 80,91 23 3,181 82,22 4 3,063 82,69 24 3,154 82,1 5 3,19 82,36 25 3,209 81,82 6 3,129 82,53 26 3,222 82,27 7 3,176 82,09 27 3,112 80,63 8 3,22 81,54 28 3,253 82,19 9 3,26 81,54 29 3,169 81,44 10 3,091 81,2 30 3,28 81,12 11 3,214 81,69 31 3,269 82,91 12 3,197 81,71 32 3,167 82,31 13 3,231 81,38 33 3,227 81,97 14 3,291 81,93 34 3,12 82,14 15 3,182 82,24 35 3,347 82,15 16 3,21 83,47 36 3,245 82,45 17 3,236 81,76 37 3,173 81,73 18 3,224 81,29 38 3,188 83,18 19 3,193 81,87 39 3,318 81,88 20 3,193 82,8 40 3,201 82,01 Допустимый интервал изменения параметра: 1-й вариант - [3,050 - 3,350]т; 2-й вариант - [80,50 - 83,50]т. Таблица П2 Значения cІ (крит. Пирсона) и А (коэф. ограниченности статистики), в зависимости от числа степеней свободы k и доверительной вероятности g Число степеней свободы Критерий Пирсона, c 2 Коэф. ограннич. статис-ки, А g ,к g =0,9 g =0,95 g =0,9 g =0,95 1 2,71 3,84 - - 2 4,61 5,99 8,229 16,51 3 6,25 7,82 3,233 4,658 4 7,78 9,49 2,377 3,082 5 11,24 11,07 2,025 2,49 6 11,65 12,59 1,832 2,183 7 12,02 14,07 1,71 1,992 8 13,36 15,51 1,626 1,861 9 14,69 16,92 1,562 1,768 10 15,99 18,31 1,513 1,713 11 17,28 19,68 1,472 1,638 12 18,55 21,03 1,446 1,59 13 19,81 22,36 1,413 1,548 14 21,06 23,69 1,39 1,518 15 22,31 25 1,37 1,492 16 23,54 26,3 1,353 1,468 17 24,59 27,59 1,335 1,447 18 25,99 28,87 1,332 1,427 19 27,2 30,14 1,31 1,41 20 28,41 31,41 1,299 1,394 21 29,62 32,67 1,288 1,372 22 30,81 33,92 1,28 1,368 23 32,01 35,01 1,271 1,355 24 33,2 36,42 1,263 1,345 25 34,65 37,38 1,256 1,336 26 35,56 38,88 1,249 1,326 27 36,74 40,11 1,243 1,318 28 37,92 41,34 1,237 1,31 29 39,09 42,56 1,231 1,302 30 40,26 43,77 1,226 1,295 31 41,42 44,42 1,222 1,288 32 42,59 46,19 1,217 1,282 33 43,75 47,4 1,212 1,276 34 44,9 48,6 1,208 1,271 35 46,06 49,06 1,204 1,266 36 47,21 51 1,201 1,261 37 48,36 52,19 1,198 1,257 38 49,51 53,38 1,194 1,252 39 50,65 54,57 1,19 1,248 40 51,81 55,76 1,187 1,243 Таблица П3 Нормированная функция нормального распределения (функция Лапласа) U 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586 0.1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535 0.2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409 0.3 61791 62172 62552 62930 63307 93683 64058 64431 64803 65173 0.4 65542 65910 66276 66640 67003 97364 67724 68082 68439 68793 0.5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240 0.6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490 0.7 75804 76115 76424 96730 77035 77337 77637 77935 78230 78524 0.8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327 0.9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891 1.0 84134 84375 84614 84850 85083 85314 85543 85769 85993 86214 1.1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298 1.2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147 1.3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91308 91466 91621 91774 1.4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92786 92922 93056 93189 1.5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408 1.6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449 1.7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96880 96164 96246 96327 1.8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062 1.9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670 2.0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169 2.1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574 2.2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899 2.3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158 2.4 99180 99202 99224 99245 99266 99286 99305 99324 99343 99361 2.5 99379 99396 99413 99430 99446 99461 99477 99492 99506 99520 2.6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643 2.7 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99736 2.8 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807 2.9 99813 99819 99825 99831 99836 99841 99846 99851 99856 99861 3.0 99865 99869 99874 99878 99882 99886 99889 99893 99896 99900 3.1 99903 99906 99910 99913 99916 99918 99921 99924 99926 99929 3.2 99931 99934 99936 99938 99940 99942 99944 99946 99948 99950 3.3 99952 99953 99955 99957 99958 99960 99961 99962 99964 99965 3.4 99966 99968 99969 99970 99971 99972 99973 99974 99975 99976 3.5 99977 99978 99978 99979 99980 99981 99981 99982 99983 99983 3.6 99984 99985 99985 99986 99986 99987 99987 99988 99988 99989 3.7 99989 99990 99990 99990 99991 99991 99992 99992 99992 99992 3.8 99993 99993 99993 99994 99994 99994 99994 99995 99995 99995 3.9 99995 99995 99996 99996 99996 99996 99996 99996 99997 99997 Список литературы 87 26. Дубняев В.А. Обоснование стратегических альтернатив инновационной политики: Учеб.пособ. М.: АНХ, 1991. 130 с. 27. Иваницкая Л.В. Особенности моделирования инновационных процессов развития научных исследований по перспективным технологиям / Л.В.Иваницкая, Т.М.Леденева, Л.В.Паринова // Высокие технологии в технике, медицине и образовании: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 1998. Ч.3. С. 22-29. 28. Заре Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию проблемных решений. М.: Мир, 1976. 165 с. 29. Леденева Т.М. Лингвистический подход к оценке качества диссертационных работ / Т.М.Леденева, Я.Е.Львович, Л.В.Паринова // Высокие технологии в технике, медицине и образовании: Межвуз.сб.науч.тр. Воронеж: ВГТУ, 1997. С. 24-32. 30. Леденева Т.М. Некоторые способы построения интегральных оценок для агрегированных ресурсов // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз.сб.научн.тр. Воронеж: ВГТУ, 1991. С. 27-32. 31. Добрынин В.С. Методические указания по выполнению курсовой работы «Оценка надежности ДЛА по результатам испытаний». Воронеж: ВПИ, 1993. 13 с. 88 32. Косточкин В.В. Надежность авиационных двигателей и силовых установок. М.: Машиностроение, 1976. 248 с. 33. Шор Я.Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Советское Радио, 1962. 552 с. 34. Никитин Г.А. Влияние загрязненности жидкости на надежность работы гидросистем летательных аппаратов / Г.А.Никитин, С.В.Чирков. М.: Транспорт, 1969. 183 с. 35. Анцелиович Л.Л. Надежность, безопасность и живучесть самолета. М. Машиностроение, 1985. 296 с. 36. Волков Л.И. Надежность летательных аппаратов / Л.И.Волков, А.М.Шишкевич. М.:ВШ, 1975. 425 с.