Розклад вектора за базисом . Означення . Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n ), що не дорівнює нулю і виконується рівність (1) Означення . Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі . В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів. Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів . Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори лінійно залежні. Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших. Якщо вектори із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді , тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів , не дорівнює нулю. Приклад 1 . Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів = (-1,-2,-3); = (7,8,9); = (-4,-5,6) та системи векторів = (3,-2,4,1); = (-1,2,-1,2); = (1,2,2,5). Розв’язування . Спочатку розглянемо систему векторів , та . Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів: Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 – 96 +84 – 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори , , лінійно незалежні. Тепер розглянемо систему векторів , , . Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд: Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2. Тому вектори , , лінійно залежні. Означення . Базисом n вимірного простору Е n називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору . Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так: (2) Числа називають координатами вектора у базисі векторів . Приклад . Довести, що вектори = (5,4,3); = (-3,-1,2); та = (-3,1,3) утворюють базис в Е3 , та розкласти вектор = (12,9,10) за цим базисом. Розв’язування . Кожен із заданих векторів , , має три координати, тому належить тривимірному простору Е3 . Матриця складена з координат цих векторів має визначник |А|= -15-24-9-9+36-10= -310, тому вектори , , лінійно незалежні. Згідно з означенням базиса, ці вектори утворюють базис в Е3 . Вектор також має три координати, тобто належить Е3 . Тому його можна представити у вигляді (2) або Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи Отже, маємо розклад за базисом = 3 Координатами вектора у базисі , , будуть (3,2,-1). Зауваження . Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність , тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто Вправи з векторної алгебри 1. Взяти довільний вектор і побудувати вектори 2. Використовуючи два довільні вектора та , побудувати + , - , -, 2 - 3 3. Паралелограм АВСD побудований на векторах та . Виразити через та вектори , , та , де М – точка перетину діагоналей. 4. При якому розташуванні вектора відносно осі його проекція: а) додатня; b) від’ємна; с) дорівнює нулю? 5. Знайти координати векторів 2+5 та 2 - , якщо = (2,-4,2), =(-3,2,-1) 6. Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та: а) мають рівні модулі; b) колінеарні; с) рівні між собою 7. Задані точки М1 (1,2,3) та М2 (3,-4,6). Треба: а) знайти координати векторів = = ; b) знайти довжину відрізка М1 М2 та косінуси кутів що утворює вектор з осями координат; с) знайти орт вектора 8. Задана точка А(-2,3,-6). Обчислити: а) координати радіус-вектора точки А; b) модуль та косінуси кутів між та осями координат; 9. Чому дорівнює скалярний добуток×, якщо: а) та колінеарні і однаково напрямлені; b) та протилежні; с) ^ ; d) = 10. Вектори та утворюють кут Обчислити: а) ; b) (3 - 2)(+2); c) |+|; d) |2-3| 11. Задані вектори =(1,-2,4), =(3,0,-1). Знайти модуль вектора =2-3 та його напрямні косінуси. 12. Задані точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5), С(0,1,-5) Знайти 13. Перевірити колінеарність векторів =(2,-1,3) та (-6,3,-9) 14. Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори = (1,2,2); = (1,2,3); = (1,2,-2) 15. Знайти: а) усі можливі базиси системи векторів = (1,1,1); = (1,2,2); =(1,1,3); = (1,1,-2) b) координати у базисі , , Завдання для індивідуальної роботи. Задані чотири вектори , , , . Довести, що вектори , , утворюють базис та знайти координати вектора , в цьому базисі та ||. 16. а = (2,1,0); b = (4,3,-3); с = (-6,5,7); d = (34,5,-26) 17. а = (1,0,5); b = (3,2,7); с = (5,0,9); d = (-4,2,-12) 18. а = (4,5,2); b = (3,0,1); с = (-1,4,2); d = (5,7,8) 19. а = (3,-5-2); b = (4,5,1); с = (-3,0,-4); d = (-4,5,-16) 20. а = (-2,3,5); b = (1,-3,4,); с = (7-8,-1); d = (1,20,1) 21. а = (1,3,5); b = (0,2,0); с = (5,7,9); d = (0,4,16) 22. а = (2,4,-6); b = (1,3,5); с = (0,-3,7); d = (3,2,52) 23. а = (4,3,-1); b = (5,0,4); с = (2,1,2); d = (0,12,-6) 24. а = (3,4,-3); b = (-5,5,0); с = (2,1,-4); d = (8,-16,17) 25. а = (-2,1,7); b = (3,-3,8); с = (5,4,-1); d = (18,25,1)