Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 35
Метод вращений решения линейных систем
Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.
Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1
,
второе на s1
и сложим их ; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s1
, второе на c
1
и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями
Отсюда В результате преобразований получим систему
где
Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на
а третье–уравнением, полученное при сложении результатов умножения тех же
где
Выполнив преобразование m-1
раз, придем к системе
Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов. Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица
и т.д. В результате m
-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.
Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса. Всего метод вращения требует примерно Пример: Дана СЛУ: х1
+2х2
+3х3
=8 3х1
+х2
+х3
=3 2х1
+3х2
+х3
=5 Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на ( –s1), а второе на с1 и сложим. Результат : система (1) из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося: x1(c1+3s1)+x2(2c1+s1)+x3(3c1+s1)=8c1+3s1 x1(3c1-s1)+x2(c1-2s1)+x3(c1-3s1)=3c1-8s1 2x1+3x2+x3=5 Найти c1 и s1 -s1+3c1=0 c1=1/10^1/2 s1=3/10^1/2 Подставим эти значения в первые два уравнения системы (1), получим новую систему (2): 10x1+5x2+6x3=17 -5x2-8x3=-21 2x1+3x2=5 Умножим уравнение 1 из системы(2) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на ( –s2), а второе на с2 и сложим. Результат : система (3): 2x1(5c2+s2)+x2(5c2+3s2)+x3(6c2+s2)=17c2+5s2 2x1(c2-5s2)+x2(3c2-5s2)+x3(c2-5s2)=5c2-17s2 Найти c2 и s2: -10s2+2c2=0 c2=5/26^1/2 s2=1/26^1/2 Подставим эти значения в уравнения 1 и 3 системы (3), получим систему (4): 52x1+28x2+31x3=90 -5x2-8x3=-21 -10x2-x3=-8 Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. Результат : система (5): 52x1+28x2+31x3=90 5x2(-c3-2s3)+x3(-8c3-s3)=-21c3-8s3 5x2(-2c3+s3)+x3(-c3+8s3)=-8c3+21s3 Найдем c3 и s3: 10s3-5c3=0 c3=-1/5^1/2 s3=-2/5^1/2 Подставим найденные значения во 2 и 3 уравнения системы (5) и найдем результирующую систему (6): 52x1+28x2+31x3=90 35x2-10x3=15 -15x3=-30 Ответы: х1=0 х2=1
|