Показатели надежности восстанавливаемого объекта Лекция 13 НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ 1. Постановка задачи. Общая расчетная модель При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение: экспоненциальное распределение наработки между отказами; экспоненциальное распределение времени восстановления. Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории». Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем. При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена). Случайный процесс в какой либо физической системе S , называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t 0 вероятность состояния системы в будущем (t > t 0 ) зависит только от состояния в настоящем (t = t 0 ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого). t < t 0 t > t 0 Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент. Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем. При использовании метода, в общем случае, для системы S , необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S 1 , S 2 , … , S n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов. Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения: - отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа); - отсутствуют ограничения на число восстановлений; - если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S 1 , S 2 , … , S n . Основные правила составления модели: 1. Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа: а) кружки (вершины графа S 1 , S 2 , … , S n ) – возможные состояния системы S , возникающие при отказах элементов; б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj . Над/под стрелками указываются интенсивности переходов. Примеры графа: S 0 – работоспособное состояние; S 1 – состояние отказа. «Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие: - исправное состояние продолжается; - состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем). Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S 1 , S 2 , … , S n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний. 2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний P 1 (t), P 2 (t), … , Pi (t), … , P n (t) , где Pi (t) – вероятность нахождения системы в момент t в i -м состоянии, т. е. Pi ( t) = P{ S( t) = si}. Очевидно, что для любого t (1) (нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S 1 , S 2 , … , S n нет). 3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид: (2) В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t . При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом: а) в левой части – производная по времени t от Pi (t); б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями; в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка; г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него. Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений. 4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P 1(t), Pi (t), … , P n(t) необходимо задать начальное значение вероятностей P 1(0), Pi (0), … , P n(0) , при t = 0 , сумма которых равна единице: Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi (0) = 1, а остальные равны нулю. 2. Показатели надежности восстанавливаемых систем Все состояния системы S можно разделить на подмножества: SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна; SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна. S = SK SM , SK SM = 0. 1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j -м состоянии; Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z -м состоянии. 2. Функция простоя П(t) системы 3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим , в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi (t)/dt = 0, т.к. Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида: (3) и коэффициент готовности: есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t . 4. Параметр потока отказов системы (4) где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное. 5. Функция потока отказов (5) 6. Средняя наработка между отказами на интервале t (6) Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами T 0 = kг .с ./ , где ( ) = . В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект , у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока = = 1/ T 0 , а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления = 1/ T В , где T 0 – средняя наработка между отказами; T В – среднее время восстановления. P 0 (t) – вероятность работоспособного состояния при t ; P 1 (t) – вероятность неработоспособного состояния при t. Система дифференциальных уравнений: (7) Начальные условия: при t = 0 P 0 (t = 0) = P 0 (0) = 1; P 1 (0) = 0, поскольку состояния S 0 и S 1 представляют полную группу событий, то P 0 (t) + P 1 (t) = 1. (8) Выражая P 0 (t) = 1 - P 1 (t) , и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P 1 (t ): dP 1 (t)/dt = (1 – P 1 (t)) - P 1 (t). (9) Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi (t): т. е. Pi (S) = L{Pi (t)} – изображение вероятности Pi (t). Преобразование Лапласа для производной dPi (t)/dt: После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений: (9) где L{ } = L{1} = /S . При P 1 (0) = 0 SP 1 (S) + P 1 (S)( + ) = /S. P 1 (S)( S + + ) = /S, откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии: (10) Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к: Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом: L{ f( t)} = 1/ S, то f( t) = 1; L{ f( t)} = 1/( S + a), то f( t) = e- at , вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется: (11) Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t) , равна (12) С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t . Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi (t) = Pi = const , поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку dPi (t)/dt = 0. Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с . При t алгебраические уравнения имеют вид: (13) Дополнительное уравнение: P0 + P 1 = 1. Выражая P 1 = 1 - P 0 , получаем 0 = P 0 - (1 - P 0 ), или = P 0 ( + ), откуда (14) Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента: - функция готовности Г(t), функция простоя П(t) Г (t) = P 0 (t); П (t) = 1 - Г (t) = P 1 (t) . - параметр потока отказов (t) по (4) (t) = P 0 (t) = Г(t). При t (стационарный установившийся режим восстановления) ( t) = ( ) = = P0 = kг.с. - ведущая функция потока отказов (t ) - средняя наработка между отказами (t ) t0 = kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ . На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии. Рис. 1 Анализ изменения P 0 (t) позволяет сделать выводы: 1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности ( = ) / = 0 и P0(t) = 1. 2) При отсутствии восстановления ( = 0) / = и P0(t) = e-t , и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента. Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности. Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем). В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются. Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид: Система дифференциальных уравнений: Начальные условия: P 0 (0) = 1; P 1 (0) = 0. Изображение по Лапласу первого уравнения системы: После группировки: откуда Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t : 3. Связь логической схемы надежности с графом состояний Переход от логической схемы к графу состояний необходим: 1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов; 2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой. Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ). Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .