Лабораторная - Дослідження виконання арифметичних операцій у форматі з рухомою комою Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Кафедра ЕОМ Звіт з лабораторної роботи №6 з дисципліни: організація та функціонування комп’ютерів на тему: Дослідження виконання арифметичних операцій у форматі з рухомою комою» Виконав: ст.гр. КІ-11 Cаноцький М.Т. Прийняв: ст..викл. Кудрявцев О.Т. Львів 2010 Мета роботи: 1. Ознайомитися з поданням чисел у нормальній формі. Засвоїти порядок нормалізації чисел з рухомою комою. Ознайомитися з поняттям “характеристика” для чисел з рухомою комою. 2. Вивчити правила додавання (віднімання) двійкових чисел з рухомою комою. 3. Розробити алгоритми і програми додавання чисел в арифметиці з рухомою комою в інструкціях навчального комп'ютера - симулятора DeComp. 1. Теоретична частина 1.1 Подання чисел з рухомою комою число рухомий кома алгоритм У форматі з рухомою комою, який звичайно називають нормальною формою запису, числа записуються наступним чином: A = М * d Р , де p – ціле число, яке називається порядком числа А; d – основа системи числення; М – мантиса числа А (звичайно |M| < 1). При нормальній формі запис одного числа може приймати різний вигляд у залежності від обмежень, що накладаються на його форму. Фактично місце коми у мантисі М визначається величиною порядку р. Із зміною порядку р у більшу або меншу сторону кома відповідно переміщується ліворуч або праворуч, тобто рухається (“плаває”) у зображені мантиси. Наприклад: 23410 = 234 * 100 = 0,234 * 103 = 0,0234 * 104 = 2,34 * 102 ; 1011012 = 101101 * 100 = 0,101101 * 10110 = 0,00101101 * 101000 . Можна зауважити, що хоча числа у наведених прикладах однакові за абсолютною величиною, проте мантиса потребує різної кількості розрядів. Для цього, щоб запобігти цьому, звичайно уводять деякі обмеження. Найбільш розповсюдженим і зручним для подання у комп’ютерах обмеженням є наступне: d-1 M 1. Числа, що записані у такій формі називаються нормалізованими. Іншими словами, у нормалізованих числах у мантисі першою цифрою перед комою стоїть 0, а перша цифра після коми – це цифра відмінна від нуля. Для двійкової системи числення вона дорівнює 1. Таким чином, мантису розглядають як число менше одиниці, а порядок – як ціле число. Операція нормалізації виконується шляхом зсуву мантиси вліво із зменшенням порядку, або вправо із збільшення порядку на величину, яка дорівнює кількості розрядів, на яку була зсунута мантиса. Приклад: нормалізувати наступні числа: 0,00237 * 105 = 0,237 * 103 – мантиса зсувається на два розряди вліво, тобто – збільшується, а порядок зменшується на дві одиниці. 10101,0112 * 1010 = 0,10101011 * 10 111 - мантиса зсувається вправо на 5 розрядів, тобто – зменшується, а порядок збільшується на 5 одиниць. Нормалізоване подання чисел дозволяє зберігати у розрядній сітці комп’ютера більшу кількість цифр, що мають значення, тому точність обчислень підвищується. Зазвичай у комп’ютерах нормалізація здійснюється автоматично як при вводі чисел, так і у процесі обчислень (після виконання чергової операції). При цьому мантиса зсувається ліворуч на необхідну кількість розрядів і виконується відповідне зменшення порядку, тобто виконується “нормалізація вліво”. При виконанні операції додавання або віднімання нормалізованих чисел з різними порядками одно з них “денормалізується” до вирівнювання порядків, а сума (або різниця) знову нормалізується. У розрядній сітці комп’ютерів фіксуються знак числа, знак порядку, порядок числа і числовий вираз мантиси. 0 1 2 ... ... ... ... ... ... m+n+1 0 0 1 2 ... m 1 2 ... n Знак мантиси Знак порядку Порядок Мантиса У комп’ютерах із рухомою комою можливе переповнення розрядної сітки, так само, як і у комп’ютерах із фіксованою комою. Наприклад, переповнення може виникнути при додаванні нормалізованих чисел одного знаку з однаковими порядками. У цьому випадку з’являється “1” ліворуч від коми. Такого роду переповнення коригується зсувом мантиси вправо на один розряд і збільшенням порядку на одиницю, тобто виконується “нормалізація вправо”. 1.2 Правила додавання (віднімання) двійкових чисел з рухомою комою Додавання і віднімання чисел з рухомою комою виконується у декілька етапів. 1. Вирівнювання порядків; Як відомо, реальна величина (вага) Ni одиниці і-го розряду мантиси визначається не тільки позицією даного розряду, але й порядком р числа, тобто Ni = d p-і, де і – номер позиції, рахуючи вправо від коми. При додаванні (відніманні) необхідно, щоб ваги однойменних розрядів мантис чисел були однаковими. Для цього мантиси зсувають одна щодо одної так, щоб їх порядки вирівнялися. Щоб при вирівнюванні порядків не отримати мантиси більшої за одиницю, їх потрібно вирівнювати від меншого до більшого порядку. Мантиса з меншим порядком зсувається вправо (у бік молодших розрядів) на кількість розрядів, що дорівнює різниці порядків і одночасно коректується порядок (збільшується до значення спільного порядку). 1. Додавання мантис; Додавання мантис із вирівненими порядками виконується згідно правил додавання чисел з фіксованою комою. Зазвичай використовується модифікований доповнювальний код. (Пригадайте правила подання від’ємних чисел з використанням доповнювального або оберненого модифікованого коду). 3. Переведення результату додавання мантис у прямий код. У результаті додавання мантис може виникнути один з трьох випадків: а). Виникає переповнення розрядної сітки комп’ютера (порушення нормалізації вправо). Ознакою переповнення є невизначенність знакових розрядів, коли результат неможливо віднести ні до додатних, ні до від’ємних чисел (код 01 або 10). У цьому випадку необхідно виконати корекцію результату додавання мантис шляхом його зсуву вправо на один розряд і одночасного збільшення порядку на 1. Наприклад, після додавання мантис отримуємо число 01,00001. Нормалізуємо його зсувом вправо на один розряд і одночасно збільшуємо порядок на 1. В результаті отримуємо: (А + В)доп = 00,100001 * 10к+1 Переводимо у прямий код: (А + В)пр = 00,100001 * 10к+1. Внаслідок корекції результату шляхом зсуву вліво точність його погіршилася. б). Результат від’ємний. Переведення результату додавання мантис у прямий код віконується шляхом виконання другого доповнення (тобто, виконується інверсія результату і до отриманого коду додається 1 у молодший розряд) або другого обертання (тобто, виконується інверсія результату); в). Результат додатний. У прямому коді додатний результат залишається без змін; 4. Нормалізація результату. Виконується тоді, коли після переведення у прямий код у отриманому результаті відбувається порушення нормалізації вправо, тобто з правого боку від коми є один або декілька нулів. Це порушення коректується зсувом мантиси результату вліво і одночасне зменшення порядку на кількість розрядів зсуву мантиси до повної нормалізації мантиси. 1. Остаточний результат додавання двох чисел з рухомою комою: сума мантис – це мантиса результату, порядок результату – вирівняний порядок доданків, із врахуванням всіх проведених корекцій. . Розглянемо приклади виконання операції додавання двійкових чисел з рухомою комою. Всі арифметичні дії будемо виконувати у модифікованому доповнювальному коді. Приклад 1: Додати A = - 0,1101 * 10101 i B = + 0,1100 * 10011. а) Вирівнюємо порядки.. Спочатку, визначаємо арифметичну різницю між порядками, віднімаючи від значення порядку числа А значення порядку числа В. При цьому операцію віднімання замінюємо операцією додавання у доповнювальному модифікованому коді. рА – рВ = рА + (– рВ) = (pA доп(м) = 00,101) + (pB доп(м) = 11,101) = 00,010 – різниця порядків Аналіз отриманої різниці: · знак різниці показує, що порядок числа А більше порядку числа В; · порядки відрізняються на дві одиниці. Через те, що рА > pB, зсуваємо мантису числа В вправо на два розряди, тобто МВ пр= 00,001100 і Впр= 00,001100 * 10101. Розряди мантиси числа В, які вийшли за межі розрядної сітки процесора, будуть втрачені, що погіршить точність обчислень. б) Переводимо мантиси обох чисел у модифікований доповнювальний код (в межах 4-х розрядів): МА пр = 11,1101 МА доп(М) =.11,0011 МВ пр = 00,0011 МВ доп(М) =.00,0011 в) Додаємо модифіковані доповнювальні коди мантис чисел А та В і отримуємо результат у модифікованому доповнювальному коді: (А + В)доп (М) = 11,0011 + 00,0011 = 11,0110 г) Аналіз результату додавання мантис починається із знакових розрядів. Знакові розряди показують, що переповнення розрядної сітки у нас не виникло. Результат – від'ємний, тому переводимо мантису результату у прямий код шляхом виконання другого доповнення і дописуємо спільний порядок: (А + В)пр (М) = (11,1001 + 00,0001) * 10 101 = 11,1010 * 10101 - остаточний результат. При переведенні у прямий код знак результату не міняється. Подальший аналіз показує, що порушення нормалізації результату вправо немає. Приклад 2. : Додати двійкові числа: А = + 0,10100 * 10101 та В = - 0,10110 * 10100 . а) Для вирівнювання порядків доданків необхідно із порядку числа А відняти порядок числа В. Віднімання замінимо додаванням у модифікованому доповняльному коді. (рА доп(м)= 00,101) + (рВ доп(м) = 11,100) = ,101 – 00,100 = 00,101 + (- 00,100) = 00,101 + (11,011 + 00,001) = 00,101 + 1,100 = 00,001 Через те, що рА > pB на +1, виконуємо зсув мантиси числа В вправо на 1 розряд. МВ пр = 11,010110 і В = 11,010110 * 10101. б) Переведемо мантиси доданків у модифікований доповняльний код. МА пр = 00,10100 МА доп(М) = 00,10100. МВ пр = 11,010110 МВ доп(М) = 11,101010. в) Додаємо мантиси чисел А і В у модифікованих доповняльних кодах: (МА доп(М) = 00,10100) + (МВ доп(М) = 11,10101) = 00,01001 г) Переводимо результат у прямий код (виконуємо друге доповнення). У нашому випадку прямий код суми мантис збігається з доповнювальним кодом суми мантис, тому що результат є число додатне. (МА + МВ) пр(м) = 00,01001 Як видно, виникло порушення нормалізації вправо, тому що вправо від коми розряд дорівнює 0. д) Виконуємо нормалізацію результату, тобто зсув мантиси ліворуч на 1 розряд з одночасним відповідним зменшенням порядку: (А + В)пр = 0,1001 * 10100 – остаточний результат. 2.Хід роботи: · Розробити алгоритм і написати програму додавання довільних (додатних і від’ємних) двійкових чисел із рухомою комою у модифікованому доповнювальному коді в інструкціях симулятора DeComp. Числа подаються у форматі: Знак порядку Знак мантиси Порядок Мантиса 2 розряди 2 розряди 4 розряди 8 розрядів У алгоритмі передбачити аналіз отриманого результату на: · переповнення розрядної сітки (порушення нормалізації вліво); · наявність порушення нормалізації вправо; · від'ємний результат Передбачити відповідні заходи з корекції результату. Блок-схема написаної програми Попередньо в такі комірки заношу такі дані: 350 хххх хххх хххх хххх Число а 351 хххх хххх хххх хххх Число b 352 1100 0000 0000 0000 Маска для знаку порядку 353 0000 1111 0000 0000 Маска для порядку 354 0000 0000 0000 0000 Порядок числа а 355 0000 0000 0000 0000 Знак порадка числа а 356 0000 0000 0000 0000 Порядок числа b 357 0000 0000 0000 0000 Знак порядку числа b 358 0000 0000 0000 0000 Порядок зі знаком числа a 359 0000 0000 0000 0000 Порядок зі знаком числа b 360 0000 0000 0000 0001 Одиниця для додавання 361 0000 0000 0000 0010 Нормалізація порядку 362 0011 1100 0000 0000 Маска для нормалізації інвертації порядка 363 0000 0000 0000 0000 Мантиса числа a 364 0000 0000 0000 0000 Мантиса числа b 365 0000 0000 0000 0000 Знак мантиси числа a 366 0000 0000 0000 0000 Знак мантиси числа b 367 0011 0000 0000 0000 маска для відокремлення знаку мантиси 368 0000 0000 1111 1111 Маска для відокремлення мантиси 369 0000 0000 0000 0000 Мантиса зі знаком числа a 370 0000 0000 0000 0000 Мантиса зі знаком числа a 371 0000 0000 0000 0000 Різниця порядків 372 0011 1110 0000 0000 Маска для взяття різниці порядків 373 1011 1111 1111 1111 Обернена маска для взяття модуля різниці 374 0000 0000 0000 1001 Нормалізація різниці порядків 375 0000 0000 0000 0101 Підготовка мантиси 376 0000 0000 0000 0101 Підготовка мантиси 377 0000 0000 0000 0010 Нормалізація порядку 378 0000 0000 1111 1111 Маска для виділення мантиси 379 1000 0000 0000 0000 Відновлення знаку мантиси 380 0000 0000 0000 0000 Сума двох чисел 381 0000 0000 0000 0000 Мантиса результату 382 0000 0000 0000 0000 Знак мантиси результату 383 0000 0000 0000 0000 Порядок результату 384 0000 0000 0000 0000 Знак порядоку результату 385 0011 1111 1110 0000 Маска для вибору мантиси результату 386 0000 0000 0000 0110 Зсув мантиси до молодших розрядів 387 0000 0000 0000 0000 Результат (Зн. П, Зн.М, Порядок, Мантиса) 388 0000 0100 0000 0000 Додавання одиниці для переведення порядку 389 0000 0010 0000 0000 Одиниця для переведення різниці порядків 390 0000 0000 0010 0000 Додавання одиниці для переведення мантиси Код програми: 0 0000 0001 0101 1110 LOAD 350 Виділення порядка 1-го числа 1 0100 0001 0110 0001 AND 353 2 0001 0001 0110 0010 STORE 354 Переміщення порядку до старших розрядів 3 0000 0001 0110 0010 LOAD 354 4 1111 0010 0000 0000 LSL 5 0001 0001 0110 0010 STORE 354 6 0000 0001 0110 1001 LOAD 361 7 0011 0001 0110 1000 SUB 360 8 0001 0001 0110 1001 STORE 361 9 1000 0000 0000 0011 JNZ 3 10 0000 0001 0101 1110 LOAD 350 Виділення знаку порядку 1-го числа 11 0100 0001 0110 0000 AND 352 12 0001 0001 0110 0011 STORE 355 13 1111 1100 0000 0000 LSL Перевірка на відємність порядка 1-го числа 14 1100 0000 0001 0100 JNC 20 15 0000 0001 0110 0010 LOAD 354 Якщо порядок 1-го числа відємний інвертуєм порядок перевести в доповняльний код 16 0111 0000 0000 0000 NOT 17 0100 0001 0110 1010 AND 362 18 0010 0001 1000 0100 ADD 388 19 0001 0001 0110 0010 STORE 354 20 0000 0001 0110 0010 LOAD 354 Обєднання знаку і порядку в одне число 21 0010 0001 0110 0011 ADD 355 22 0001 0001 0110 0110 STORE 358 23 0000 0001 0101 1111 LOAD 351 Виділення порядка 2-го числа 24 0100 0001 0110 0001 AND 353 25 0001 0001 0110 0100 STORE 356 26 0000 0001 0110 0100 LOAD 356 Переміщення порядку до старших розрядів 27 1111 0010 0000 0000 LSL 28 0001 0001 0110 0100 STORE 356 29 0000 0001 0110 1001 LOAD 377 30 0011 0001 0110 1000 SUB 360 31 0001 0001 0110 1001 STORE 377 32 1000 0000 0001 1010 JNZ 26 33 0000 0001 0101 1111 LOAD 351 Виділення знаку порядку 2-го числа 34 0100 0001 0110 0000 AND 352 35 0001 0001 0110 0101 STORE 357 36 1111 1100 0000 0000 LSL Перевірка на відємність порядка 2-го числа 37 1100 0000 0010 1011 JNC 43 38 0000 0001 0110 0100 LOAD 356 Якщо порядок 2-го числа відємний інвертуєм порядок 39 0111 0000 0000 0000 NOT 40 0100 0001 0110 1010 AND 362 41 0010 0001 1000 0100 ADD 388 42 0001 0001 0110 0100 STORE 356 43 0000 0001 0110 0100 LOAD 356 Обєднання знаку і порядку в одне число 44 0010 0001 0110 0101 ADD 357 45 0001 0001 0110 0111 STORE 359 46 0000 0001 0101 1110 LOAD 350 Виділення мантиси 47 0100 0001 0111 0000 AND 368 48 0001 0001 0110 1011 STORE 363 49 0000 0001 0101 1110 LOAD 350 Виділення і нормалізація знаку 50 0100 0001 0110 1111 AND 367 51 1111 1100 0000 0000 LSL 52 1111 1100 0000 0000 LSL 53 0001 0001 0110 1101 STORE 365 54 0000 0001 0101 1111 LOAD 351 Виділення мантиси 55 0100 0001 0111 0000 AND 368 56 0001 0001 0110 1100 STORE 364 57 0000 0001 0101 1111 LOAD 351 Виділення і нормалізація знаку 58 0100 0001 0110 1111 AND 367 59 1111 1100 0000 0000 LSL 60 1111 1100 0000 0000 LSL 61 0001 0001 0110 1110 STORE 366 62 0000 0001 0110 0110 LOAD 358 Визначення різниці порядків 63 0010 0001 0110 0111 ADD 359 64 0001 0001 0111 0011 STORE 371 65 1011 0000 0100 1100 JM 76 Визначення знаку різниці 66 1111 0010 0000 0000 LSR Корекція результату 67 0100 0001 0111 0100 AND 372 68 0001 0001 0111 0011 STORE 371 69 0000 0001 0111 0011 LOAD 371 Нормалізація різниці порядків 70 1111 0010 0000 0000 LSR 71 0001 0001 0111 0011 STORE 371 72 0000 0001 0111 0110 LOAD 374 73 0011 0001 0110 1000 SUB 360 74 0001 0001 0111 0110 STORE 374 75 1000 0000 0100 0101 JNZ 69 76 0000 0001 0111 0011 LOAD 371 77 0010 0001 0110 1000 ADD 360 78 0001 0001 0111 0011 STORE 371 79 0000 0001 0110 0111 LOAD 359 Збільшення меншого порядку на величину різниці 80 0010 0001 0111 0011 ADD 371 81 0001 0001 0110 0111 STORE 359 82 0000 0001 0111 0011 LOAD 371 Зсув мантиси на величину різниці порядків 83 0011 0001 0110 1000 SUB 360 84 1001 0000 0101 1010 JZ 90 85 0001 0001 0111 0011 STORE 371 86 0000 0001 0110 1100 LOAD 364 87 1111 0010 0000 0000 LSR 88 0001 0000 0110 1100 STORE 364 89 1110 0000 0101 0010 JMP 82 90 1111 0010 0000 0000 LSR Корекція результату 91 0100 0001 0111 0101 AND 373 92 0001 0001 0111 0011 STORE 371 93 0100 0001 0111 0100 AND 372 Переведення числа в прямий код 94 0111 0000 0000 0000 NOT 95 0010 0001 1000 0101 ADD 389 96 0000 0001 0110 0110 LOAD 358 Збільшення меншого порядку на величину різниці 97 0010 0001 0111 0011 ADD 371 98 0001 0001 0110 0110 STORE 358 99 0001 0001 0111 0011 STORE 371 Нормалізація різниці порядків 100 0000 0001 0111 0011 LOAD 371 101 1111 0010 0000 0000 LSR 102 0001 0001 0111 0011 STORE 371 103 0000 0001 0111 0110 LOAD 374 104 0011 0001 0110 1000 SUB 360 105 0001 0001 0111 0110 STORE 374 106 1000 0000 0110 0011 JNZ 99 107 0000 0001 0111 0011 LOAD 371 Зсув мантиси на величину різниці порядків 108 0011 0001 0110 1000 SUB 360 109 1001 0000 0111 0011 JZ 115 110 0001 0001 0111 0011 STORE 371 111 0001 0001 0110 1011 LOAD 363 112 1111 0010 0000 0000 LSR 113 0000 0001 0110 1011 STORE 363 114 1110 0000 0110 1011 JMP 107 115 0000 0001 0110 1101 LOAD 365 Переведення числа в доповняльний код 116 1111 1100 0000 0000 LSL 117 1100 0000 0110 1110 JNC 110 118 0001 0000 0110 1011 LOAD 363 119 0111 0000 0000 0000 NOT 120 0010 0001 0110 1000 ADD 360 121 0100 0001 0111 1010 AND 378 122 0000 0000 0110 1011 STORE 363 123 0000 0001 0110 1110 LOAD 366 Переведення числа в доповняльний код 124 1111 1100 0000 0000 LSL 125 1100 0000 0111 0110 JNC 118 126 0000 0000 0110 1100 LOAD 364 127 0111 0000 0000 0000 NOT 128 0010 0001 0110 1000 ADD 360 129 0100 0001 0111 1010 AND 378 130 0001 0001 0110 1100 STORE 364 131 0001 0001 0110 1011 LOAD 363 Зсув мантиси до старших розрядів 132 1111 1100 0000 0000 LSL 133 0001 0001 0110 1011 STORE 363 134 0000 0001 0111 1101 LOAD 375 135 0011 0001 0110 1000 SUB 360 136 0001 0001 0111 1101 STORE 375 137 1000 0000 1000 0011 JNZ 131 138 0000 0001 0110 1100 LOAD 364 Зсув мантиси до старших розрядів 139 1111 1100 0000 0000 LSL 140 0001 0001 0110 1100 STORE 364 141 0000 0001 0111 1110 LOAD 376 142 0011 0001 0110 1000 SUB 360 143 0001 0001 0111 1110 STORE 376 144 1000 0000 1000 1010 JNZ 138 145 0001 0001 0110 1011 LOAD 363 Обєднання знаку і мантиси в одне число 1-го числа 146 0010 0001 0110 1101 ADD 365 147 0001 0001 0111 0001 STORE 369 148 0000 0001 0110 1100 LOAD 364 Обєднання знаку і мантиси в одне число 2-го числа 149 0010 0001 0110 1110 ADD 366 150 0001 0001 0111 0010 STORE 370 151 0000 0001 0111 0001 LOAD 369 Додавання мантис двох чисел 152 0000 0001 0111 0001 ADD 370 153 1011 0000 1001 1100 JM 156 Збереження результату при додатньому результаті 154 1111 1100 0000 0000 LSL 155 0001 0001 0111 1100 STORE 380 156 1111 1100 0000 0000 LSL Збереження результату при відємному результаті 157 0010 0001 0111 1011 ADD 379 158 0111 0000 0000 0000 NOT Переведення відємного результату в прямий код 159 0100 0001 1000 0001 AND 385 160 0010 0001 1000 0110 ADD 390 161 0010 0001 0110 0000 ADD 352 162 0001 0001 0111 1100 STORE 380 163 0000 0001 0110 0010 LOAD 354 Збереження порядку результату 164 1111 0010 0000 0000 LSR 165 1111 0010 0000 0000 LSR 166 0001 0001 0111 1111 STORE 383 167 0000 0001 0110 0011 LOAD 355 Збереження знаку порядку результату 168 0001 0001 1000 0000 STORE 384 169 0000 0001 0111 1100 LOAD 380 Перевірка денормалізації в право і корекція результату 170 0100 0001 1000 0001 AND 385 171 1111 1100 0000 0000 LSL 172 1111 1100 0000 0000 LSL 173