Построение детерминированной программой математической модели кристаллизации сплава системы Fe-C Федеральное агентство по образованию ГОУ «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» Факультет технологии и исследования материалов Кафедра моделирования металлургических процессов Отчёт о лабораторной работе №1 «Построение детерминированной программной модели». Работу выполнила студентка группы 4064/1 Петрова С.С. Преподаватель Вяххи И.Э. Санкт-Петербург 2009 г. Цель работы – знакомство с методикой построения детерминированной модели и разработка численной модели металлургического процесса для системы с сосредоточенными параметрами. Система – целесообразная совокупность взаимодействующих элементов, которая ориентирована на выполнение той или иной функции. Системы классифицируются по различным параметрам. По пространственной структуре бывают системы с сосредоточенными и распределёнными параметрами. Система с сосредоточенными параметрами имеет равномерное распределение выходных параметров по объёму и характеризуется их осреднёнными величинами. Система с распределёнными параметрами имеет более сложную структуру, в ней выходные параметры неравномерно распределены по объёму. Модель – объект, находящийся по отношению к натурному объекту в отношении подобия (т.е. взаимно-однозначного соответствия); приближённое описание процессов, происходящих в системе, ориентированное на выполнение определённых функций. Детерминированные модели описывают процессы с известным механизмом с помощью физико-химических уравнений, влияние случайных возмущений не учитывается. Постановка задачи: Необходимо разработать математическую модель процесса кристаллизации сплава системы Fe – 0,16 % C с учётом равновесного выделения твердой фазы по диаграмме состояния. Изменение температуры данного сплава происходит в интервале от tз=1800°С (температуры заливки в форму) до tк=800°С (конечной температуры охлаждения слитка). Удельная теплоёмкость сплава С=444 Дж/(кг·К), его плотность ρ=7000 кг/м3 , коэффициент теплоотдачи α=126,5 Вт/(м2 ·К), скрытая теплота фазового превращения L=277 кДж/кг. Поскольку мы имеем дело с системой с сосредоточенными параметрами, то модель, с помощью которой мы будем описывать процессы, происходящие в системе, так же будет с сосредоточенными параметрами, то есть будет характеризоваться осреднёнными параметрами. Построение физической модели: На рисунке 2 показан характер изменения температуры во времени при охлаждении сплава заданного состава. Разобьем температурный интервал охлаждения слитка сплава Fe – 0,16 % C на участки: I. Участок жидкого состояния. При заданной температуре заливки tз=1800°С сплав Fe – 0,16 % C находится в жидком состоянии; жидкость охлаждается до пересечения с линией А-В при температуре ликвидуса (tliq ) в точке А1 . II. В точке А1 начинается выпадение из расплава кристаллов феррита, Ж → Ф при этом концентрация жидкости меняется по линии А-В, а концентрация феррита – по линии А-С. III. В точке С1 , когда сплав достигает температуры перитектики (tp=1499°С), выпадение кристаллов феррита заканчивается. При данной температуре происходит перитектическое превращение: Ж + Ф → А С-С1 -В – линия нонвариантного перитектического превращения. IV. Ниже точки С1 охлаждение идёт в области диаграммы, соответствующей твёрдому состоянию сплава, до заданной температуры охлаждения слитка tк=800°С. Для дальнейшего построения физической модели примем следующие допущения: - для простоты модели будем рассматривать систему как объём с сосредоточенными параметрами, т. е. не учитывая перепада температур по сечению слитка и принимая его в качестве материальной точки, имеющие постоянные поверхность теплообмена F, объем V и плотность ρ; На рисунке 3 изображён слиток заданного сплава: (м2 ), (м3 ). - теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи α, т.е. пренебрежём лучистым (радиационным) теплообменом; - основные параметры системы (плотность р, теплоемкость С, теплота кристаллизации L) являются постоянными, не зависящими от температуры и состава выделяющихся фаз, в том числе не учитываются объёмные изменения и физико-химическое взаимодействие между сплавом и окружающей средой; - при расчете предполагаем линии диаграммы состояния отрезками прямых (линейные зависимости) и рассчитываем соответствующие концентрации как линейные функции от температуры. Формулировка математической модели . Основным соотношением рассматриваемой математической модели является уравнение баланса энергии: изменение внутренней энергии слитка dQc равно количеству денного в среду тепла dQB . Теплообмен слитка со средой происходит по закону конвективного теплообмена Ньютона: , (1) где α – коэффициент теплоотдачи от поверхности слитка площадью F и объёмом V в окружающую среду; tcp - температура окружающей среды; t - температура слитка; τ - время. В общем случае изменение внутренней энергии сплава в зависимости от этапа кристаллизации имеет вид Для I и IV участков, где dm=0, для II участка, для III участкa, где dt=0, (2) где dm – изменение относительного количества твердой фазы ( т ≤ 1). Рассмотрим участки охлаждения и кристаллизации сплава Fe – 0,16 % C I. Для первого участка охлаждения жидкой фазы от температуры заливки (tз) до температуры ликвидуса этого сплава (tn ) уравнение баланса энергии имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка: , откуда .(3) Условие окончания первого этапа охлаждения жидкого металла имеет вид: Значение tл (С0 ) рассчитываем по диаграмме состояния в виде линейного соотношения , где С0 – состав сплава. Зависимость температуры ликвидуса от состава сплава при допущении о прямолинейности линий диаграммы состояния находим в виде уравнения прямой по двум точкам. Как видно из диаграммы состояния (рис. 1), на линии А-В при С=0% tл =1539°С; при С=0,51% tл =1499°С. Составим систему уравнений с использованием данных значений: (4) Решив эту систему, получили уравнение зависимости температуры ликвидуса от состава сплава: tл =1539–78,43С (5) II. Для второго участка охлаждения в интервале температур от перитектики (tp ) уравнение баланса энергии с учетом теплоты фазового превращения при выделении феррита имеет вид: a (t –tep )Fdτ = –V С pdt + VLpdm, (6) где в правой части содержатся дифференциалы двух взаимозависимых переменных – t и m. Для исключения «лишней» переменной и преобразования этого уравнения к виду необходимо связать дополнительным соотношением t и m , а затем выразить dm через количество твердой фазы – феррита при температуре t в условиях равновесной кристаллизации найти из диаграммы состояния по правилу отрезков: , (7) где С1 (t) и С2 (t) – концентрация углерода С в жидком сплаве (линия А-В) и в феррите (линия А-С) при температуре t.. Зависимости С1 (t) и С2 (t) находим, используя допущение о том, что линии диаграммы состояния являются прямыми. Как видно из диаграммы состояния (рис. 1), на линии А-В при t=1539°С С=0%; при t=1499°С С=0,51%. Составим систему уравнений с использованием данных значений: (8) а = – 0,01275; Решив эту систему, получили уравнение зависимости С1 (t)=19,62 – 0,01275t . Аналогично находим уравнение для прямой С2 : На линии А-С при t=1539°С С=0%; при t=1499°С С=0,1%. Составим систему уравнений: (9) Решив эту систему, получили уравнение зависимости С2 (t)=3,85 – 0,0025t. После соответствующих преобразований и подстановки в соотношение (7) определим темп выделения твёрдой фазы путем дифференцирования уравнения (7) для последующего использования этого выражения в математической модели (6): , тогда Введём обозначение dm/dt = A, тогда из (6) получим следующее дифференциальное уравнение: a ( t –tep ) F dτ = –VС p dt + VLp Adt, откуда получаем (10) Условие окончания второго этапа: (11) III Для третьего участка кристаллизации (перитектическое превращение при постоянной температуре tр ) уравнение баланса энергии принимает вид: a(t –tep )F dτ = VLpdm , откуда (12) (13) Условие окончания третьего этапа: (14) где mф – количество твёрдой фазы, которая остаётся после завершения перитектической реакции. m(1) легко определяемое по правилу отрезков на диаграмме состояния (ниже линии tр ). IV. Для четвертого участка охлаждения твердой фазы в интервале температур от tр до tк уравнение баланса энергии по виду аналогично первому участку: , (15) Условие окончания четвёртого этапа: (16) После определения всех уравнений модели переходим к выбору метода и составлению алгоритма численного решения задачи. Выбор метода и разработка алгоритма решения задачи: Преобразуем дифференциальные уравнения модели в разностную форму методом Эйлера: (17) (18) (19) (20)=(17) Программирование задачи: Оформленная в системе MATLAB программа по описанному выше итерационному алгоритму: %Programma of coling Fe-0.16C alloy clear; c0=0.16;C=444;R=7000;L=277000;a=126.5;F=0.025;V=0.00025; t(1)=1800;tp=1499;tk=800;tsr=20;dtau=1;m(1)=0.854;n=10000; tliq=1539-78.43*c0; %step_1 for i=1:n; if t>tliq; t(i+1)=t(i)-a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(V*C*R); end;end; s1=length(t); %step_2 for i=s1:n; if t>tp; t(i+1)=t(i)+a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(-V*C*R-0.0016*V*L*R/(15.77-0.01025*t(i)).^2); end;end; s2=length(t); %step_3 m(s2)=0.854; for i=s2:n; if m<1; m(i+1)=m(i)+a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(V*L*R); t(i+1)=t(i); end;end; s3=length(t); %step4 for i=s3:n; if t>tk; t(i+1)=t(i)-a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(V*C*R); end;end; sk=length(t); h=0:dtau:dtau*(length(t)-1); plot(h,t); grid title('temperature as function of time') ylabel('temperature,C') xlabel('time,sec'); Полученная в результате запуска программы математическая модель процесса кристаллизации сплава системы Fe – 0,16 % C Проверка адекватности модели: Проверка адекватности программной модели состоит в сопоставлении расчетных ур и экспериментальных уэ значений, которые выдает преподаватель, и в оценке величины коэффициента парной корреляции rУрУз по формуле: и коэффициента регрессии a =tgφ где yр i и yэ i - пары соответственных значений расчетных и экспериментальных данных; и — средние значения ур и уэ по совокупности всех п сопоставляемых величин. Таблица 1 Анализ согласованности расчётных и экспериментальных данных. время τ, сек 50 100 150 200 250 300 t расчётная, °С 1520 1510 1490 1215 1000 810 t эксперим., °С 1600 1550 1450 1100 850 730 Рис. 5 Проверка адекватности численной модели с помощью графического образа. rкр =0,707 (число степеней свободы n=6, уровень доверительной вероятности р=0,95) Из графического и численного анализа согласования полученных расчетных ур и экспериментальных уэ данных (рис. 3) можно заключить о принципиальной адекватности полученной модели на основе тесной зависимости между расчетными и экспериментальными данными (так как точки на графике располагаются вблизи биссектрисы угла, образованного координатными осями и r> rкр (0,95;6) и а≈ 1). Исследование процесса с помощью модели . Поскольку результат проверки адекватности модели положителен, проведём серию расчётов по данной модели, варьируя ряд исходных данных. Изменим коэффициент теплоотдачи α со 126,5 до 1000 Вт/(м2 ·К): Увеличим температуру среды до 200 °С (tsr начальная = 20°С): В 2 раза увеличим размеры слитка с 0,05×0,05×0,1 м3 до 0,1×0,1×0,2 м3 Вывод: Мы ознакомились с методикой построения детерминированной модели и разработали численную модель металлургического процесса для системы с сосредоточенными параметрами. С помощью коэффициента корреляции мы доказали, что построенная модель является адекватной и отражает реальную картину охлаждения и кристаллизации заданного расплава. При изменении некоторых параметров (коэффициента теплоотдачи α=1000 Вт/(м2 К), температура среды tsr =200°C и размеры слитка 0,1×0,1×0,2 м3 ) налицо изменения самой модели. Получили, что при увеличении коэффициента теплоотдачи α примерно в 7,9 раз охлаждение расплава протекает быстрее во столько же раз. А также площадка, соответствующая перитектической реакции, стала ровной, что в большей степени отвечает реальному процессу, поскольку при нонвариантном превращении температура сплава остается неизменной. При увеличении температуры среды III и IV стадии протекают дольше. Несмотря на то, что tsr является параметром, который присутствует во всех стадиях, её изменение не оказало видимого влияния на замедление скорости протекания I и II стадий.